正多角形の性質
【多角形】
直線で囲まれた形を多角形という。
辺の長さが全部等しく、角の大きさも全部等しい多角形を正多角形という。
正多角形は「すべての辺が同じ長さ」で「すべての角が同じ大きさ」という2つの条件を満たす図形です。
たとえば、正方形は正多角形の一種です。ひし形は辺の長さは全部等しいですが、角の大きさが全部等しいとは限らないので、正多角形ではありません。
【ポイント】
正多角形の名前は「正」＋「○角形」で表します。
・3辺 → 正三角形
・4辺 → 正方形（正四角形とも言います）
・5辺 → 正五角形
・6辺 → 正六角形
・8辺 → 正八角形
辺の数が増えるほど、形は円に近づいていきます。
【例題】次の正多角形の名前を答えなさい。
長さの性質
正多角形ではすべての辺の長さが等しいので、周りの長さ（周囲の長さ）は次の式で求められます。
周りの長さ ＝ 1辺の長さ × 辺の数
【例題】次の問いに答えなさい。
【答】\(15\)cm
【答】\(16\)cm
【答】\(4\)cm
角度の性質
正多角形ではすべての内角の大きさが等しいです。
多角形の内角の和は、次の公式で求められます。
内角の和 ＝ \((n-2)\times180^\circ\)（\(n\)は辺の数）
正多角形の場合、1つの内角は「内角の和 ÷ 辺の数」で求められます。
【補足】正三角形・正方形の1つの内角
・正三角形：\((3-2)\times180^\circ=180^\circ\) → \(180^\circ\div3=60^\circ\)
・正方形：\((4-2)\times180^\circ=360^\circ\) → \(360^\circ\div4=90^\circ\)
【例題】次の角度を答えなさい。
【答】\(90^\circ\)
\(90\div2=45\)
【答】\(45^\circ\)
正多角形のまとめ
よく出てくる正多角形の特徴を表にまとめました。覚えておくと便利です。
| 名前 | 辺の数 | 1つの内角 | 周りの長さの求め方 |
|---|---|---|---|
| 正三角形 | 3 | \(60^\circ\) | 1辺 × 3 |
| 正方形 | 4 | \(90^\circ\) | 1辺 × 4 |
| 正五角形 | 5 | \(108^\circ\) | 1辺 × 5 |
| 正六角形 | 6 | \(120^\circ\) | 1辺 × 6 |
| 正八角形 | 8 | \(135^\circ\) | 1辺 × 8 |
【1つの内角の求め方】
内角の和 ＝ \((n-2)\times180^\circ\) を計算し、その結果を辺の数で割ります。
・正三角形：\((3-2)\times180^\circ=180^\circ\) → \(180^\circ\div3=60^\circ\)
・正方形：\((4-2)\times180^\circ=360^\circ\) → \(360^\circ\div4=90^\circ\)
・正五角形：\((5-2)\times180^\circ=540^\circ\) → \(540^\circ\div5=108^\circ\)
・正六角形：\((6-2)\times180^\circ=720^\circ\) → \(720^\circ\div6=120^\circ\)
・正八角形：\((8-2)\times180^\circ=1080^\circ\) → \(1080^\circ\div8=135^\circ\)