1-3 乗法と除法(要点)

乗法

掛け算のことを乗法という。

乗法の答えをという。

同符号の積

【同符号の積】

2数の絶対値の積に正の符号(+)をつける。


【例】次の同符号の2数を乗法しなさい。

(1)\begin{align}({\color{red}+}4)×({\color{red}+}3) &= {\color{red}+}(4×3) \\ &= {\color{red}+}12\end{align}

+4と+3は「+」であり同符号である。よって、2数の絶対値の積(4×3)に正の符号(+)をつければ答えとなる。

(2)\begin{align}({\color{red}-}5)×({\color{red}-}7) &= {\color{red}+}(5×7) \\ &= {\color{red}+}35\end{align}

-5と-7は「-」であり同符号である。よって、2数の絶対値の和(5×7)に正の符号(+)をつければ答えとなる。


【例題】次の同符号の2数を乗法しなさい。

(1)\[(+6)×(+4)\]

(2)\[(-9)×(-3)\]

(3)\[(+8)×(+2)\]

(4)\[(-11)×(-1)\]

異符号の積

【異符号の積】

2数の絶対値の積に負の符号(-)をつける。


【例】次の異符号の2数を乗法しなさい。

(1)\begin{align}({\color{red}+}9)×({\color{red}-}2) &= {\color{red}-}(9×2) \\ &= {\color{red}-}18\end{align}

+9と-2は異符号である。よって、2数の絶対値の積(9×2)に負の符号(-)をつければ答えとなる。

(2)\begin{align}({\color{red}-}6)×({\color{red}+}8) &= {\color{red}-}(6×8) \\ &= {\color{red}-}48\end{align}

-6と+8は異符号である。よって、2数の絶対値の積(6×8)に負の符号(-)をつければ答えとなる。


【例題】次の異符号の2数を乗法しなさい。

(1)\[(+5)×(-8)\]

(2)\[(-4)×(+10)\]

(3)\[(+7)×(-9)\]

(4)\[(-1)×(+12)\]

乗法の交換法則と結合法則

【乗法の交換法則】

\[a×b=b×a\]


【乗法の結合法則】

\[(a×b)×c=a×(b×c)\]

いくつかの数の積

【いくつかの数の積】

1.負の数を偶数個かける場合、積は正の符号(+)をつける。

2.負の数を奇数個かける場合、積は負の符号(-)をつける。


【例】次の計算しなさい。

(1)\begin{align}({\color{red}-}2)×({\color{red}-}7)×({\color{red}-}3)×({\color{red}-}5) &= {\color{red}+}(2×7×3×5) \\ &= {\color{red}+}210\end{align}

負の数が4個(偶数個)あるので、積に正の符号(+)をつければ答えとなる。

(2)\begin{align}({\color{red}-}4)×(+1)×({\color{red}-}2)×({\color{red}-}15) &= {\color{red}-}(4×1×2×15) \\ &= {\color{red}-}120\end{align}

負の数が3個(奇数個)あるので、積に負の符号(-)をつければ答えとなる。


【例題】次の計算をしなさい。

(1)\[(-3)×(+9)×(-4)\]

(2)\[(-6)×(-5)×(-0.5)\]

(3)\[(-7)×(-4)×(+5)×(-0.2)\]

(4)\[(+2)×\left(-\frac{2}{3}\right)×6×\left(-\frac{3}{4}\right)\]

累乗

同じ数をいくつかかけ合わせたものを累乗という。

\(2^3\)と表し、「2の3乗」と読む。

\(2^3\)=2×2×2となる。

また、右上にある3のことを指数という。

【例】次の計算しなさい。

(1)\begin{align}(-2)^3 &= (-2)×(-2)×(-2) \\ &= -8\end{align}

(2)\begin{align}-3^2 &= -(3×3) \\ &= -9\end{align}

(3)\begin{align}(-5)×(-3)^2 &= (-5)×(+9) \\ &= -45\end{align}


【例題】次の計算をしなさい。

(1)\[-2^3\]

(2)\[(-3)^4\]

(3)\[(-4)×(-5)^3\]

除法

割り算のことを除法という。

除法の答えをという。

同符号の商

【同符号の商】

2数の絶対値の商に正の符号(+)をつける。


【例】次の同符号の2数を除法しなさい。

(1)\begin{align}({\color{red}+}20)÷({\color{red}+}5) &= {\color{red}+}(20÷5) \\ &= {\color{red}+}4\end{align}

+20と+5は「+」であり同符号である。よって、2数の絶対値の商(20÷5)に正の符号(+)をつければ答えとなる。

(2)\begin{align}({\color{red}-}63)÷({\color{red}-}9) &= {\color{red}+}(63÷9) \\ &= {\color{red}+}7\end{align}

-63と-9は「-」であり同符号である。よって、2数の絶対値の商(63÷9)に正の符号(+)をつければ答えとなる。


【例題】次の同符号の2数を除法しなさい。

(1)\[(+12)÷(+4)\]

(2)\[(-32)÷(-8)\]

異符号の商

【異符号の商】

2数の絶対値の商に負の符号(-)をつける。


【例】次の異符号の2数を除法しなさい。

(1)\begin{align}({\color{red}+}28)÷({\color{red}-}4) &= {\color{red}-}(28÷4) \\ &= {\color{red}-}7\end{align}

+28と-4は異符号である。よって、2数の絶対値の商(28÷4)に負の符号(-)をつければ答えとなる。

(2)\begin{align}({\color{red}-}24)÷({\color{red}+}3) &= {\color{red}-}(24÷3) \\ &= {\color{red}-}8\end{align}

-24と+3は異符号である。よって、2数の絶対値の商(24÷3)に負の符号(-)をつければ答えとなる。


【例題】次の異符号の2数を除法しなさい。

(1)\[(+72)÷(-6)\]

(2)\[(-45)÷(+15)\]

逆数

分子と分母を入れ替えたものを逆数という。

【例】次の数の逆数を答えなさい。

(1)\[+\frac{2}{3}の逆数は+\frac{3}{2}\]

(2)\[-\frac{5}{3}の逆数は-\frac{3}{5}\]


【例題】次の数の逆数を答えなさい。

(1)\[+\frac{3}{4}の逆数\]

(2)\[-\frac{2}{5}の逆数\]

(3)\[+\frac{7}{2}の逆数\]

(4)\[-6の逆数\]


【除法】

除法は割る数を逆数にして乗法に直して計算する。


【例】次の2数を除法しなさい。

(1)\begin{align}(-6)÷\left(-\frac{3}{4}\right) &= (-6)×\left(-\frac{4}{3}\right) \\ &= +\left(6×\frac{4}{3}\right) \\ &= +8\end{align}

(2)\begin{align}\left(-\frac{3}{2}\right)÷(+3) &= \left(-\frac{3}{2}\right)×\left(+\frac{1}{3}\right) \\ &= -\left(\frac{3}{2}×\frac{1}{3}\right) \\ &= -\frac{1}{2}\end{align}


【例題】次の2数を除法しなさい。

(1)\[(-8)÷\left(+\frac{4}{7}\right)\]

(2)\[\left(+\frac{11}{6}\right)÷(-4)\]

(3)\[\left(+\frac{1}{2}\right)÷\left(-\frac{2}{3}\right)\]

(4)\[\left(-\frac{6}{7}\right)÷\left(-\frac{3}{5}\right)\]

四則の混じった計算

加法、減法、乗法、除法をまとめて四則という。

【四則計算の順序】

1.括弧の中身 ※{}の中に()がある場合、先に()を計算する。

2.累乗

3.乗法、除法

4.加法、減法


【例】次の式を計算しなさい。

(1)\begin{align}\hspace{40pt}6×(-3)-8÷(-4)\end{align} \begin{align}&= -18-(-2) \\ &= -16\end{align}

(2)\begin{align}\hspace{17pt}-8-6×(-2^3)\end{align} \begin{align}&= -8-6×(-8) \\ &= -8-(-48) \\ &= 40\end{align}

(3)\begin{align}\hspace{23pt}15-{16÷(5-7)}\end{align} \begin{align}&= 15-{16÷(-2)} \\ &= 15-(-8) \\ &= 23\end{align}


【例題】次の式を計算しなさい。

(1)\[5×4-23\]

(2)\[-3^3÷(-3)^2+15\]

(3)\[(-5)-(-3)×(4-6)\]

分配法則

【分配法則】

\[a×(b+c)=a×b+a×c\]

\[(a+b)×c=a×c+a×c\]

素因数分解

約数が1と自分自身の2つしかない自然数を素数という。

一桁の素数は2,3,5,7になる。

【例】

(1)5の約数は1,5なので、5は素数。

(2)6の約数は1,2,3,6なので、6は素数ではない。

自然数を素数のみの積で表すことを素因数分解という。

【例】次の数を素因数分解しなさい。

(1)24
求める数を素数で割り算して素数になるまで繰り返す。
2)  24
2)  12
2)    6
       3
よって、 \[24=2^3×3\]

(2)42
2)  42
3)  21
       7
よって、 \[42=2×3×7\]

(3)60
2)  60
2)  30
3)  15
       5
よって、 \[60=2^2×3×5\]


【例題】次の数を素因数分解しなさい。

(1)\[72\]

(2)\[84\]

(3)\[180\]

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