【中学1年数学】1-3 乗法と除法｜要点まとめ

乗法

【乗法】
掛け算のことを乗法という。
乗法の答えを積という。

同符号の積（正×正・負×負）

【同符号の積】
\(2\)数の絶対値の積に正の符号\((+)\)をつける。

(1)\((\)\(+\)\(4)×(\)\(+\)\(3)=\)\(+\)\((4×3)=\)\(+\)\(12\)
\(+\)\(4\)と\(+\)\(3\)は「\(+\)」であり同符号である。よって、\(2\)数の絶対値の積\((4×3)\)に正の符号(\(+\))をつければ答えとなる。

(2)\((\)\(-\)\(5)×(\)\(-\)\(7)=\)\(+\)\((5×7)=\)\(+\)\(35\)
\(-\)\(5\)と\(-\)\(7\)は「\(-\)」であり同符号である。よって、\(2\)数の絶対値の和\((5×7)\)に正の符号(\(+\))をつければ答えとなる。

異符号の積（正×負）

【異符号の積】
\(2\)数の絶対値の積に負の符号\((-)\)をつける。

(1)\((\)\(+\)\(9)×(\)\(-\)\(2)=\)\(-\)\((9×2)=\)\(-\)\(18\)
\(+\)\(9\)と\(-\)\(2\)は異符号である。よって、\(2\)数の絶対値の積\((9×2)\)に負の符号(\(-\))をつければ答えとなる。

(2)\((\)\(-\)\(6)×(\)\(+\)\(8)=\)\(-\)\((6×8)=\)\(-\)\(48\)
\(-\)\(6\)と\(+\)\(8\)は異符号である。よって、\(2\)数の絶対値の積\((6×8)\)に負の符号(\(-\))をつければ答えとなる。

乗法の性質（交換法則・結合法則）

【乗法の交換法則】
\(a×b=b×a\)

【乗法の結合法則】
\((a×b)×c=a×(b×c)\)

複数の数の積の計算

【いくつかの数の積】
1.負の数を偶数個かける場合、積は正の符号\((+)\)をつける。
2.負の数を奇数個かける場合、積は負の符号\((-)\)をつける。

(1)\((\)\(-\)\(2)×(\)\(-\)\(7)×(\)\(-\)\(3)×(\)\(-\)\(5)\)
\(=\)\(+\)\((2×7×3×5)\)
\(=\)\(+\)\(210\)
負の数が\(4\)個(偶数個)あるので、積に正の符号\((\)\(+\)\()\)をつければ答えとなる。

(2)\((\)\(-\)\(4)×(+1)×(\)\(-\)\(2)×(\)\(-\)\(15)\)
\(=\)\(-\)\((4×1×2×15)\)
\(=\)\(-\)\(120\)
負の数が\(3\)個(奇数個)あるので、積に負の符号\((\)\(-\)\()\)をつければ答えとなる。

累乗（同じ数を繰り返しかける）

【累乗】
同じ数をいくつかかけ合わせたものを累乗という。
\(2^3\)と表し、「\(2\)の\(3\)乗」と読む。
\(2^3=2×2×2\)となる。
また、右上にある\(3\)のことを指数という。

(1)\((-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8\)
(2)\(-3^2=-(3×3)=-9\)
(3)\((-5)×(-3)^2=(-5)×(+9)=-45\)

除法

【除法】
割り算のことを除法という。
除法の答えを商という。

同符号の商（正÷正・負÷負）

【同符号の商】
\(2\)数の絶対値の商に正の符号\((+)\)をつける。

(1)\((\)\(+\)\(20)÷(\)\(+\)\(5)=\)\(+\)\((20÷5)=\)\(+\)\(4\)
\(+\)\(20\)と\(+\)\(5\)は「\(+\)」であり同符号である。よって、\(2\)数の絶対値の商\((20÷5)\)に正の符号(\(+\))をつければ答えとなる。

(2)\((\)\(-\)\(63)÷(\)\(-\)\(9)=\)\(+\)\((63÷9)=\)\(+\)\(7\)
\(-\)\(63\)と\(-\)\(9\)は「\(-\)」であり同符号である。よって、\(2\)数の絶対値の商\((63÷9)\)に正の符号(\(+\))をつければ答えとなる。

異符号の商（正÷負）

【異符号の商】
\(2\)数の絶対値の商に負の符号\((-)\)をつける。

(1)\((\)\(+\)\(28)÷(\)\(-\)\(4)=\)\(-\)\((28÷4)=\)\(-\)\(7\)
\(+\)\(28\)と\(-\)\(4\)は異符号である。よって、\(2\)数の絶対値の商\((28÷4)\)に負の符号\((\)\(-\)\()\)をつければ答えとなる。

(2)\((\)\(-\)\(24)÷(\)\(+\)\(3)=\)\(-\)\((24÷3)=\)\(-\)\(8\)
\(-\)\(24\)と\(+\)\(3\)は異符号である。よって、\(2\)数の絶対値の商\((24÷3)\)に負の符号\((\)\(-\)\()\)をつければ答えとなる。

逆数を使った計算

【逆数】
分子と分母を入れ替えたものを逆数という。

(1)\(\displaystyle +\frac{2}{3}\)の逆数は\(\displaystyle +\frac{3}{2}\)
(2)\(\displaystyle -\frac{5}{3}\)の逆数は\(\displaystyle -\frac{3}{5}\)

分数の除法（÷を×に変えて計算）

【分数の除法】
除法は割る数を逆数にして乗法に直して計算する。

(1)\(\displaystyle (-6)÷\left(-\frac{3}{4}\right)\)
\(\displaystyle =(-6)×\left(-\frac{4}{3}\right)\)
\(\displaystyle =+\left(6×\frac{4}{3}\right)\)
\(=+8\)

(2)\(\displaystyle \left(-\frac{3}{2}\right)÷(+3)\)
\(\displaystyle =\left(-\frac{3}{2}\right)×\left(+\frac{1}{3}\right)\)
\(\displaystyle =-\left(\frac{3}{2}×\frac{1}{3}\right)\)
\(\displaystyle =-\frac{1}{2}\)

四則の混じった計算

【四則計算の順序】
加法、減法、乗法、除法をまとめて四則という。

1.括弧の中身 ※{}の中に()がある場合、先に()を計算する。
2.累乗
3.乗法、除法
4.加法、減法

(1)\(6×(-3)-8÷(-4)\)
\(=(-18)-(-2)\)
\(=-16\)

(2)\(-8-6×(-2^3)\)
\(=-8-6×(-8)\)
\(=-8-(-48)\)
\(=40\)

(3)\(15-16÷(5-7)\)
\(=15-16÷(-2)\)
\(=15-(-8)\)
\(=23\)

分配法則を使った計算

【分配法則】
\(a×(b+c)=a×b+a×c\)
\((a+b)×c=a×c+a×c\)

素因数分解

【素数】
約数が\(1\)と自分自身の\(2\)つしかない自然数を素数という。
一桁の素数は\(2,3,5,7\)になる。

(1)\(5\)の約数は\(1,5\)なので、\(5\)は素数。
(2)\(6\)の約数は\(1,2,3,6\)なので、\(6\)は素数ではない。

【素因数分解】
自然数を素数のみの積で表すことを素因数分解という。

【例】次の数を素因数分解しなさい。
(1)\(24\)
求める数を素数で割り算して素数になるまで繰り返す。
2)  24
2)  12
2)    6
       3
よって、\(24=2^3×3\)

(2)\(42\)
2)  42
3)  21
       7
よって、\(42=2×3×7\)

(3)\(60\)
2)  60
2)  30
3)  15
       5
よって、\(60=2^2×3×5\)