3-1 方程式の解き方(要点)

【等式の性質】

1.両辺に同じ数を加えても等式は成り立つ。

\[A=B\ ならば\ A+C=B+C\]

2.両辺から同じ数を引いても等式は成り立つ。

\[A=B\ ならば\ A-C=B-C\]

3.両辺に同じ数をかけても等式は成り立つ。

\[A=B\ ならば\ AC=BC\]

4.両辺に0ではない同じ数を割っても等式は成り立つ。

\[A=B\ ならば\ \frac{A}{C}=\frac{B}{C}\]

【移項】

等式の一方の辺にある項を、その符号を変えて他方の辺に移すことを移項という。

\begin{eqnarray}4x-2 &=& 10 \\ 4x &=& 10+2\end{eqnarray}

【例】次の方程式を解きなさい。

(1)\begin{eqnarray}3x &=& -2x+20 \\ -2xを移項すると、\\ 3x+2x &=& 20 \\ 5x &=& 20 \\ 両辺を5で割ると、\\x &=& 4\end{eqnarray}

(2)\begin{eqnarray}5x+2 &=& -3x-22 \\ 2、-3xを移項すると、\\ 5x+3x &=& -22-2 \\ 8x &=& -24 \\ 両辺を8で割ると、\\x &=& -3\end{eqnarray}

(3)括弧がある場合、括弧を外す。\begin{eqnarray}7x-5 &=& 3(x+5) \\ 7x-5 &=& 3x+15 \\ 7x-3x &=& 15+5 \\ 4x &=& 20 \\ x &=& 5\end{eqnarray}

(4)小数がある場合、整数になるように両辺をかける。\begin{eqnarray}2.1x-3.2 &=& 0.5x \\ (2.1x-3.2)×10 &=& 0.5x×10 \\ 21x-32 &=& 5x \\ 21x-5x &=& 32 \\ 16x &=& 32 \\ x &=& 2\end{eqnarray}

(5)分数がある場合、整数になるように分母の最小公倍数を両辺をかける。\begin{eqnarray}\frac{2}{3}x-4 &=& \frac{1}{2}x+7 \\ \left(\frac{2}{3}x-4\right)×6 &=& \left(\frac{1}{2}x+7\right)×6 \\ 4x-24 &=& 3x+42 \\ 4x-3x &=& 42+24 \\ x &=& 66\end{eqnarray}

(6)\begin{eqnarray}\frac{x}{4}-\frac{x-4}{3} &=& 8 \\ \frac{x}{4}×12-\frac{x-4}{3}×12 &=& 8×12 \\ 3x-4(x-4) &=& 96 \\ 3x-4x+16 &=& 96 \\ 3x-4x &=& 96-16 \\ -x &=& 80 \\x &=& -80\end{eqnarray}

【例題】次の方程式を解きなさい。

(1)\[5x+2 = 3x+8\]

\[x=3\]

(2)\[x-1 = 17-5x\]

\[x=3\]

(3)\[3(x-3) = -2(4-x)\]

\[x=1\]

(4)\[2(x-4) = -3(x+1)\]

\[x=1\]

(5)\[0.2x-0.6 = 0.5x\]

\[x=-2\]

(6)\[0.1(x-1) = 0.08x-0.2\]

\[x=-5\]

(7)\[\frac{x}{2}+1 = \frac{x-1}{3}\]

\[x=-8\]

(8)\[\frac{3x+1}{2} = \frac{2x-1}{3}\]

\[x=-1\]