【中学1年数学】3-2 一次方程式の利用｜要点まとめ

このページでは、中学1年数学で学ぶ「一次方程式の利用」の要点をわかりやすくまとめています。比例式、代金、整数、平均、速さ、割合、割引、濃度などの文章題を一次方程式で立式し、解く手順を整理しています。応用問題に対応できる力を身につけることができます。

方程式の活用

比例式

【比例式】
\(a\)\(:\)\(b\)\(=\)\(c\)\(:\)\(d\)のように、比が等しい等式を比例式という。
\(a,d\)のことを外項、\(b,c\)のことを内項という。

【比例式の性質】
内項の積と外項の積は等しい。
\(a:b=c:d\)ならば\(ad=bc\)

(1)\(x:8=9:6\)
\(6x=8×9\)
\(6x=72\)
\(x=12\)

(2)\(x:9=(x-2):6\)
\(6x=9(x-2)\)
\(6x=9x-18\)
\(-3x=-18\)
\(x=6\)

(3)\(2.8:0.4=x:2\)
\(0.4x=2.8×2\)
\(0.4x=5.6\)
\(4x=56\)
\(x=14\)

【例題】次の比例式を解きなさい。

(1)\(x:4=3:2\)
(2)\(8:(x+1)=4:5\)
(3)\(2:x=0.8:1.2\)
(4)\(\displaystyle 6:x=\frac{1}{2}:\frac{3}{4}\)

代金

(1)\(1\)個\(120\)円の梨と\(1\)個\(150\)円の柿を合わせて\(20\)個買って、\(2760\)円払いました。梨と柿は何個ずつ買ったか求めなさい。
(2)鉛筆を何人かの生徒に配る。\(1\)人に\(4\)本ずつ配ると\(11\)本不足し、\(1\)人に\(3\)本ずつ配ると\(12\)本余る。生徒の人数と鉛筆の本数を求めなさい。

整数

(1)\(3x+a=-9x+1\)の方程式で解が\(x=-3\)のとき、\(a\)の値を求めなさい。
(2)ある数の\(7\)倍と\(9\)の和は、元の数の\(3\)倍より\(15\)小さい。ある数を求めなさい。
(3)十の位が\(7\)である二桁の自然数がある。この整数の十の位と一の位を入れ替えた自然数はもとの自然数より\(36\)小さくなる。もとの自然数を求めなさい。

平均

(1)クラス\(35\)人全体の平均値が\(67\)点、女子\(15\)人の平均点が\(71\)点でした。男子の平均点を求めなさい。
(2)父は\(32\)歳、子供は\(6\)歳である。父の年齢が子供の年齢の\(3\)倍になるのはいつか求めなさい。

速さ

(1)弟が家を出て分速\(50\)mで歩いて行った。兄がその\(6\)分後に分速\(200\)mで自転車で追いかけた。兄は家から出て何分後に弟に追いつくか求めなさい。
(2)家から\(800\)m離れた駅に向かった。途中に公園があり、家から公園まで分速\(100\)m、公園から駅まで分速\(60\)mで歩き、\(12\)分で駅に着いた。家から公園までの距離を求めなさい。
(3)\(2\)地点\(A,B\)を往復するのに、行きは毎分\(80\)m、帰りは毎分\(50\)mで歩いたら往復にかかった時間は\(52\)分だった。\(A,B\)間の距離を求めなさい。

割合

(1)今年の生徒数は去年に比べて\(5\)%増えて、\(441\)人でした。去年の生徒数を求めなさい。
(2)全校生徒の\(45\)%が女子である。男子は女子より\(24\)人多い。全校生徒数を求めなさい。

割引

(1)定価\(600\)円の商品がある。定価で売れると\(1\)個当たり原価の\(50\)%の利益がある。原価を求めなさい。
(2)ある商品の原価の\(7\)割の利益をつけて定価にした。しかし売れなかったので、定価を\(4\)割引にしたところ、利益が\(40\)円だった。原価を求めなさい。

濃度

(1)\(8\)%の食塩水がある。ここに\(3\)%の食塩水を\(200\)g混ぜると、\(6\)%の食塩水になった。\(8\)%の食塩水は何gあったのか求めなさい。
(2)濃度のわからない食塩水が\(700\)gある。水を\(300\)g蒸発させると、\(7\)%の食塩水になった。もとの食塩水の濃度を求めなさい。
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