3-2 一次方程式の利用(要点)

【比例式の性質】

内項の積と外項の積は等しい。

\[a:b=c:d \ ならば\ ad=bc\]

【例】次の比例式を解きなさい。

(1)\begin{eqnarray}x:8 &=& 9:6 \\ 6x &=& 8×9 \\ 6x &=& 72 \\x &=& 12\end{eqnarray}

(2)\begin{eqnarray}x:9 &=& (x-2):6 \\ 6x &=& 9(x-2) \\ 6x &=& 9x-18 \\ -3x &=& -18 \\ x &=& 6\end{eqnarray}

(3)\begin{eqnarray}2.8:0.4 &=& x:2 \\ 0.4x &=& 2.8×2 \\ 0.4x &=& 5.6 \\ 4x &=& 56 \\ x &=& 14\end{eqnarray}

【例題】次の比例式を解きなさい。

(1)\begin{eqnarray}x:4 &=& 3:2\end{eqnarray}

\[x=6\]

(2)\begin{eqnarray}8:(x+1) &=& 4:5\end{eqnarray}

\[x=9\]

(3)\begin{eqnarray}2:x &=& 0.8:1.2\end{eqnarray}

\[x=3\]

(4)\begin{eqnarray}6:x &=& \frac{1}{2}:\frac{3}{4}\end{eqnarray}

\[x=9\]

【例題】

(1)1個120円の梨と1個150円の柿を合わせて20個買って、2760円払いました。梨と柿は何個ずつ買ったか求めなさい。

\[梨をx個買ったとすると、\] \begin{eqnarray}120x+150(20-x) &=& 2760 \\ 120x+3000-150x &=& 2760 \\ 120x-150x &=& 2760-3000 \\ -30x &=& -240 \\ x &=& 8\end{eqnarray} \[梨を8個買ったとすると、\] \begin{eqnarray}20-8 &=& 12 \end{eqnarray} \[で、柿を買った数は12個\] 【答】梨8個、柿12個

(2)鉛筆を何人かの生徒に配る。1人に4本ずつ配ると11本不足し、1人に3本ずつ配ると12本余る。生徒の人数と鉛筆の本数を求めなさい。

\[生徒の人数をx人とすると、\] \begin{eqnarray}4x-11 &=& 3x+12 \\ 4x-3x &=& 12+11 \\ x &=& 23\end{eqnarray} \[生徒が23人とすると、\] \begin{eqnarray}4×23-11 &=& 81 \end{eqnarray} \[で、鉛筆の数は81本\] 【答】生徒23人、鉛筆81本

【例題】

(1)\[3x+a=-9x+1の方程式で解が\] \[x=-3のとき、aの値を求めなさい。\]

\[方程式にx=-3を代入すると、\] \begin{eqnarray}3×(-3)+a &=& -9×(-3)+1 \\ -9+a &=& 27+1 \\ a &=& 37\end{eqnarray}

(2)ある数の7倍と9の和は、元の数の3倍より15小さい。ある数を求めなさい。

\[ある数をxとすると、\] \begin{eqnarray}7x+9 &=& 3x-15 \\ 7x-3x &=& -15-9 \\ 4x &=& -24 \\ x &=& -6\end{eqnarray}

(3)十の位が7である二桁の自然数がある。この整数の十の位と一の位を入れ替えた自然数はもとの自然数より36小さくなる。もとの自然数を求めなさい。

\[もとの自然数の一の位をxとすると、\] \begin{eqnarray}70+x &=& (10x+7)+36 \\ x-10x &=& 7+36-70 \\ -9x &=& -27 \\ x &=& 3\end{eqnarray} \[もとの自然数の一の位が3とすると、\] \begin{eqnarray}10×7+3 &=& 73 \end{eqnarray} \[で、もとの自然数は73\]

【例題】

(1)クラス35人全体の平均値が67点、女子15人の平均点が71点でした。男子の平均点を求めなさい。

男子の人数が35-15=20[人]で、平均点をxとすると、 \begin{eqnarray}35×67 &=& 20x+15×71 \\ 2345 &=& 20x+1065 \\ -20x &=& -1280 \\ x &=& 64\end{eqnarray} 【答】64点

(2)父は32歳、子供は6歳である。父の年齢が子供の年齢の3倍になるのはいつか求めなさい。

x年後に3倍になるとすると、 \begin{eqnarray}32+x &=& 3(6+x) \\ 32+x &=& 18+3x \\ x-3x &=& 18-32 \\ -2x &=& -14 \\ x &=& 7\end{eqnarray} 【答】7年後

【例題】

(1)弟が家を出て分速50mで歩いて行った。兄がその6分後に分速200mで自転車で追いかけた。兄は家から出て何分後に弟に追いつくか求めなさい。

兄がx分後に弟に追いつくとすると、 \begin{eqnarray}50(6+x) &=& 200x \\ 300+50x &=& 200x \\ 50x-200x &=& -300 \\ -150x &=& -300 \\ x &=& 2\end{eqnarray} 【答】2分後

(2)家から800m離れた駅に向かった。途中に公園があり、家から公園まで分速100m、公園から駅まで分速60mで歩き、12分で駅に着いた。家から公園までの距離を求めなさい。

家から公園までの距離をx mとすると、 \begin{eqnarray}\frac{x}{100}+\frac{800-x}{60} &=& 12 \\ 3x+5(800-x) &=& 3600 \\ 3x+4000-5x &=& 3600 \\ -2x &=& -400 \\ x &=& 200\end{eqnarray} 【答】200m

(3)2地点A、Bを往復するのに、行きは毎分80m、帰りは毎分50mで歩いたら往復にかかった時間は52分だった。A、B間の距離を求めなさい。

A、B間の距離をx mとすると、 \begin{eqnarray}\frac{x}{80}+\frac{x}{50} &=& 52 \\ 5x+8x &=& 20800 \\ 13x &=& 20800 \\ x &=& 1600\end{eqnarray} 【答】1600m

【例題】

(1)今年の生徒数は去年に比べて5%増えて、441人でした。去年の生徒数を求めなさい。

去年の生徒数をx人とすると、 \begin{eqnarray}x+\frac{5}{100}x &=& 441 \\ 100x+5x &=& 44100 \\ 105x &=& 44100 \\ x &=& 420\end{eqnarray} 【答】420人

(2)全校生徒の45%が女子である。男子は女子より24人多い。全校生徒数を求めなさい。

全校生徒数をx人とすると、 \begin{eqnarray}\frac{45}{100}x+24 &=& \frac{55}{100}x \\ 45x+2400 &=& 55x \\ -10x &=& -2400 \\ x &=& 240\end{eqnarray} 【答】240人

【例題】

(1)定価600円の商品がある。定価で売れると1個当たり原価の50%の利益がある。原価を求めなさい。

原価をx円とすると、 \begin{eqnarray}x+\frac{50}{100}x &=& 600 \\ 100x+50x &=& 60000 \\ 150x &=& 60000 \\ x &=& 400\end{eqnarray} 【答】400円

(2)ある商品の原価の7割の利益をつけて定価にした。しかし売れなかったので、定価を4割引にしたところ、利益が40円だった。原価を求めなさい。

原価をx円とすると、 \begin{eqnarray}\frac{17}{10}x×\frac{6}{10} &=& x+40 \\ \frac{51}{50}x &=& x+40 \\ 51x &=& 50x+2000 \\ x &=& 2000\end{eqnarray} 【答】2000円

【例題】

(1)8%の食塩水がある。ここに3%の食塩水を200g混ぜると、6%の食塩水になった。8%の食塩水は何gあったのか求めなさい。

8%の食塩水をx gとすると、 \begin{eqnarray}\frac{8}{100}x+\frac{3}{100}×200 &=& \frac{6}{100}(x+200) \\ 8x+600 &=& 6(x+200) \\ 8x+600 &=& 6x+1200) \\ 2x &=& 600 \\ x &=& 300\end{eqnarray} 【答】300g

(2)濃度のわからない食塩水が700gある。水を300g蒸発させると、7%の食塩水になった。もとの食塩水の濃度を求めなさい。

もとの食塩水をx%とすると、 \begin{eqnarray}\frac{x}{100}×700 &=& \frac{7}{100}×400 \\ 7x &=& 28 \\ x &=& 4\end{eqnarray} 【答】4%