4-1 比例(要点)

関数

空の水槽に毎分2リットルずつ水を入れていく。
1分後には水槽には2リットル。
2分後には水槽には4リットル。
と水がたまっていくことになる。

このとき、x分後に水槽にたまってる水の量をyリットルとすると、 \[y=2x\] と表すことができる。

このx,yのように、色々な値をとる文字を変数という。
また、xの値が決まるとyの値が決まるとき、yはxの関数であるという。

変域

変数のとり得る値の範囲をその変数の変域という。

【例】次の変域を不等号を使って表しなさい。

(1)\[xの変域が-1以上\]

\[x\geqq-1\]

\[数直線で表すと\]

-2 -1 0 1 2

(2)\[xの変域が-1以上、3未満\]

\[-1\leqq x<3\]

\[数直線で表すと\]

-1 0 1 2 3

変域を数直線で表すとき、●はその数を含み、〇はその数を含まない。


【例題】次の変域を不等号を使って表しなさい。

(1)\[xが5以上\]

(2)\[xが8未満\]

(3)\[xが3以上8以下\]

(4)\[xが-5以上2未満\]

座標

座標

関数でxとyの値の組を座標で表す。

「x=3のとき、y=2」の座標は(3,2)と表すことができる。

3をx座標、2をy座標という。

座標軸

座標を表すには2本の数直線を垂直に交わる図を使います。

横の数直線(横軸)をx軸
縦の数直線(縦軸)をy軸
両方合わせてを座標軸という。
座標軸が交わる点Oを原点という。

x y O(原点) x軸 y軸

【例】次の座標を図に表しなさい。

\[A(2,4)\] \[B(1,-4)\] \[C(-3,-2)\] \[D(-2,1)\]
O x y

【例題】図の点の座標を求めなさい。

O x y A B C D

A

B

C

D

比例

【比例を表す式】

\[yはxの関数で、\] \[y=ax\]

という式で表されるとき、

\[yはxに比例する\]

という。このとき、aを比例定数という。


【例】

(1)yはxに比例し、x=-2のとき、y=12である。yをxで表しなさい。

比例式にx、yを代入し、比例定数aを求める。 \begin{eqnarray}12 &=& -2a \\ a &=& -6\end{eqnarray} 比例定数が-6なので、 \begin{eqnarray}y &=& -6x\end{eqnarray}

(2)yはxに比例し、x=3のとき、y=5である。yをxで表しなさい。

比例式にx、yを代入し、比例定数aを求める。 \begin{eqnarray}5 &=& 3a \\ a &=& \frac{5}{3}\end{eqnarray} よって、 \begin{eqnarray}y &=& \frac{5}{3}x\end{eqnarray}


【例題】

(1)y=6xでx=2のとき、yの値を求めなさい。

(2)y=4xでy=8のとき、xの値を求めなさい。

(3)yがxに比例し、x=4のとき、y=-8である。yをxで表しなさい。

(4)yがxに比例し、x=6のとき、y=-4である。yをxで表しなさい。

比例のグラフ

【例】y=2xのグラフを描きなさい。

座標(-1,2)、(0,0)、(1,2)を通るような直線になる。

O x y

【例題】次のグラフを描きなさい。

(1)\[y=-x\]

(2)\[y=\frac{1}{2}x\]

(3)\[y=-\frac{3}{4}x\]

O x y

【例題】次のグラフから関数の式を求めなさい。

O x y (1) (2) (3)

(1)

(2)

(3)

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1章 正負の数 2章 文字と式 3章 方程式 4章 比例と反比例 5章 平面図形 6章 空間図形 7章 資料の整理
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