関数
1分後には水槽には2リットル。
2分後には水槽には4リットル。
と水がたまっていくことになる。
このとき、x分後に水槽にたまってる水の量をyリットルとすると、 \[y=2x\] と表すことができる。
このx,yのように、色々な値をとる文字を変数という。
また、xの値が決まるとyの値が決まるとき、yはxの関数であるという。
このx,yのように、色々な値をとる文字を変数という。
また、xの値が決まるとyの値が決まるとき、yはxの関数であるという。
変数のとり得る値の範囲をその変数の変域という。
【例】次の変域を不等号を使って表しなさい。
(1)\[xの変域が-1以上\]
\[x\geqq-1\]
\[数直線で表すと\]
(2)\[xの変域が-1以上、3未満\]
\[-1\leqq x<3\]
\[数直線で表すと\]
変域を数直線で表すとき、●はその数を含み、〇はその数を含まない。
【例題】次の変域を不等号を使って表しなさい。
(1)\[xが5以上\]
\[x\geqq5\]
(2)\[xが8未満\]
\[x<8\]
(3)\[xが3以上8以下\]
\[3 \leqq x \leqq 8\]
(4)\[xが-5以上2未満\]
\[-5 \leqq x < 2\]
関数でxとyの値の組を座標で表す。
「x=3のとき、y=2」の座標は(3,2)と表すことができる。
3をx座標、2をy座標という。
座標を表すには2本の数直線を垂直に交わる図を使います。
横の数直線(横軸)をx軸、
縦の数直線(縦軸)をy軸、
両方合わせてを座標軸という。
座標軸が交わる点Oを原点という。
【例】次の座標を図に表しなさい。
\[A(2,4)\] \[B(1,-4)\] \[C(-3,-2)\] \[D(-2,1)\]【例題】図の点の座標を求めなさい。
A
\[A(-2,4)\]
B
\[B(-4,-1)\]
C
\[C(0,-4)\]
D
\[D(3,1)\]
【比例を表す式】
\[yはxの関数で、\] \[y=ax\]という式で表されるとき、
\[yはxに比例する\]という。このとき、aを比例定数という。
【例】
(1)yはxに比例し、x=-2のとき、y=12である。yをxで表しなさい。
比例式にx、yを代入し、比例定数aを求める。 \begin{eqnarray}12 &=& -2a \\ a &=& -6\end{eqnarray} 比例定数が-6なので、 \begin{eqnarray}y &=& -6x\end{eqnarray}
(2)yはxに比例し、x=3のとき、y=5である。yをxで表しなさい。
比例式にx、yを代入し、比例定数aを求める。 \begin{eqnarray}5 &=& 3a \\ a &=& \frac{5}{3}\end{eqnarray} よって、 \begin{eqnarray}y &=& \frac{5}{3}x\end{eqnarray}
【例題】
(1)y=6xでx=2のとき、yの値を求めなさい。
\[y=3\]
(2)y=4xでy=8のとき、xの値を求めなさい。
\[x=2\]
(3)yがxに比例し、x=4のとき、y=-8である。yをxで表しなさい。
\[y=-2x\]
(4)yがxに比例し、x=6のとき、y=-4である。yをxで表しなさい。
\[y=-\frac{2}{3}x\]
【例】y=2xのグラフを描きなさい。
座標(-1,2)、(0,0)、(1,2)を通るような直線になる。
【例題】次のグラフを描きなさい。
(1)\[y=-x\]
(2)\[y=\frac{1}{2}x\]
(3)\[y=-\frac{3}{4}x\]
【例題】次のグラフから関数の式を求めなさい。
(1)
\[y=3x\]
(2)
\[y=-2x\]
(3)
\[y=\frac{2}{3}x\]