6-3 立体の体積と表面積(要点)

【角柱、円柱の体積】

\[体積=底面積×高さ\]

【例】次の立体の体積を求めなさい。

(1) \begin{eqnarray}底面積 &=& \frac{1}{2}×4×5 = 10(cm^2) \\ 体積 &=& 10×3 = 30(cm^3)\end{eqnarray} (2) \begin{eqnarray}底面積 &=& \pi×3^2 = 9\pi(cm^2) \\ 体積 &=& 9\pi×8 = 72\pi(cm^3)\end{eqnarray}

【例題】次の立体の体積を求めなさい。

(1)底面積が15cm²、高さ6cmの五角柱。

【答】\(90\)cm³

(2)底面の半径が2cm、高さ10cmの円柱。

【答】\(40\pi\ \)cm³

【角錐、円錐の体積】

\[体積=底面積×高さ×\frac{1}{3}\]

【例】次の立体の体積を求めなさい。

(1) \begin{eqnarray}底面積 &=& 4×4 = 16(cm^2) \\ 体積 &=& 16×6×\frac{1}{3} = 32(cm^3)\end{eqnarray} (2) \begin{eqnarray}底面積 &=& \pi×3^2 = 9\pi(cm^2) \\ 体積 &=& 9\pi×8×\frac{1}{3} = 24\pi(cm^3)\end{eqnarray}

【例題】次の立体の体積を求めなさい。

(1)底面の1辺が6cm、高さ10cmの正四角錐。

【答】\(120\)cm³

(2)底面の半径が5cm、高さ12cmの円錐。

【答】\(100\pi\ \)cm³

【球の体積】

球の半径を\(r\)としたとき、 \[体積=\frac{4}{3}\pi r^3\]

【例】半径6cmの球の体積を求めなさい。

\begin{eqnarray}体積 &=& \frac{4}{3}\pi ×6^3 = 288\pi (cm^3)\end{eqnarray}

【例題】半径3cmの球の体積を求めなさい。

【答】\(36\pi\ \)cm³

【角柱、円柱の表面積】

\[表面積=底面積×2+側面積\]

【例】次の立体の表面積を求めなさい。

(1) \begin{eqnarray}底面積 &=& \frac{1}{2}ab \\ 側面積 &=& h(a+b+c) \\ 表面積 &=& ab+h(a+b+c)\end{eqnarray} (2) \begin{eqnarray}底面積 &=& \pi r^2 \\ 側面積 &=& 2\pi hr \\ 表面積 &=& 2\pi r^2+2\pi hr\end{eqnarray}

【例題】次の立体の表面積を求めなさい。

(1)

\begin{eqnarray}底面積 &=& \frac{1}{2}×5×12 = 30 \\ 側面積 &=& 15×(5+12+13) = 450 \\ 表面積 &=& 2×30 + 450 = 510\end{eqnarray} 【答】\(510\)cm³

(2)

\begin{eqnarray}底面積 &=& π×4^2 = 16π \\ 側面積 &=& 9×2π×4 = 72π \\ 表面積 &=& 2×16π + 72π = 104π\end{eqnarray} 【答】\(104π\) cm³

【角錐、円錐の表面積】

\[表面積=底面積+側面積\]

【例】次の立体の表面積を求めなさい。

(1) \begin{eqnarray}底面積 &=& a^2 \\ 側面積 &=& 4×\frac{1}{2}aℓ = 2aℓ \\ 表面積 &=& a^2+2aℓ\end{eqnarray} (2) \begin{eqnarray}底面積 &=& πr^2 \\ 側面積 &=& πℓr \\ 表面積 &=& πr^2+πℓr\end{eqnarray}

【例題】次の立体の表面積を求めなさい。

(1)

\begin{eqnarray}底面積 &=& 8×8 = 64 \\ 側面積 &=& 4×\frac{1}{2}×8×20 = 320 \\ 表面積 &=& 64 + 320 = 384\end{eqnarray} 【答】\(384\)cm³

(2)

\begin{eqnarray}底面積 &=& π3^2 = 9π \\ 側面積 &=& π×10×3 = 30π \\ 表面積 &=& 9π + 30π = 39π\end{eqnarray} 【答】\(39π\) cm³

【球の表面積】

球の半径を\(r\)としたとき、 \[表面積=4\pi r^2\]

【例】半径6cmの球の表面積を求めなさい。

\begin{eqnarray}表面積 &=& 4\pi ×6^2 = 144\pi (cm^2)\end{eqnarray}

【例題】半径3cmの球のの表面積を求めなさい。

【答】\(36\pi\ \)cm²