6-3 立体の体積と表面積(要点)

体積

角柱、円柱の体積

【角柱、円柱の体積】

\[体積=底面積×高さ\]
底面積 高さ
底面積 高さ

【例】次の立体の体積を求めなさい。

(1)
3cm 4cm 5cm
\begin{eqnarray}底面積 &=& \frac{1}{2}×4×5 = 10(cm^2) \\ 体積 &=& 10×3 = 30(cm^3)\end{eqnarray} (2)
3cm 8cm
\begin{eqnarray}底面積 &=& \pi×3^2 = 9\pi(cm^2) \\ 体積 &=& 9\pi×8 = 72\pi(cm^3)\end{eqnarray}

【例題】次の立体の体積を求めなさい。

(1)底面積が15cm2、高さ6cmの五角柱。

(2)底面の半径が2cm、高さ10cmの円柱。

角錐、円錐の体積

【角錐、円錐の体積】

\[体積=底面積×高さ×\frac{1}{3}\]
底面積 高さ
底面積 高さ

【例】次の立体の体積を求めなさい。

(1)
4cm 6cm 4cm
\begin{eqnarray}底面積 &=& 4×4 = 16(cm^2) \\ 体積 &=& 16×6×\frac{1}{3} = 32(cm^3)\end{eqnarray} (2)
3cm 8cm
\begin{eqnarray}底面積 &=& \pi×3^2 = 9\pi(cm^2) \\ 体積 &=& 9\pi×8×\frac{1}{3} = 24\pi(cm^3)\end{eqnarray}

【例題】次の立体の体積を求めなさい。

(1)底面の1辺が6cm、高さ10cmの正四角錐。

(2)底面の半径が5cm、高さ12cmの円錐。

球の体積

【球の体積】

球の半径を\(r\)としたとき、 \[体積=\frac{4}{3}\pi r^3\]

【例】半径6cmの球の体積を求めなさい。

\begin{eqnarray}体積 &=& \frac{4}{3}\pi ×6^3 = 288\pi (cm^3)\end{eqnarray}

【例題】半径3cmの球の体積を求めなさい。

表面積

立体で、1つの底面の面積を底面積、側面全体の面積を側面積という。
また、立体の表面全体の面積を表面積という。

角柱、円柱の表面積

【角柱、円柱の表面積】

\[表面積=底面積×2+側面積\]

【例】次の立体の表面積を求めなさい。

(1)
見取り図 a b c h 展開図 a b c h a b
\begin{eqnarray}底面積 &=& \frac{1}{2}ab \\ 側面積 &=& h(a+b+c) \\ 表面積 &=& ab+h(a+b+c)\end{eqnarray} (2)
見取り図 h r 展開図 h 2πr r
\begin{eqnarray}底面積 &=& \pi r^2 \\ 側面積 &=& 2\pi hr \\ 表面積 &=& 2\pi r^2+2\pi hr\end{eqnarray}

【例題】次の立体の表面積を求めなさい。

(1)

12cm 13cm 5cm 15cm

(2)

9cm 4cm

角錐、円錐の表面積

【角錐、円錐の表面積】

\[表面積=底面積+側面積\]

【例】次の立体の表面積を求めなさい。

(1)
見取り図 a a 展開図 a
\begin{eqnarray}底面積 &=& a^2 \\ 側面積 &=& 4×\frac{1}{2}aℓ = 2aℓ \\ 表面積 &=& a^2+2aℓ\end{eqnarray} (2)
r 見取り図 r 展開図
\begin{eqnarray}底面積 &=& πr^2 \\ 側面積 &=& πℓr \\ 表面積 &=& πr^2+πℓr\end{eqnarray}

【例題】次の立体の表面積を求めなさい。

(1)

8cm 8cm 20cm

(2)

10cm 3cm

球の表面積

【球の表面積】

球の半径を\(r\)としたとき、 \[表面積=4\pi r^2\]

【例】半径6cmの球の表面積を求めなさい。

\begin{eqnarray}表面積 &=& 4\pi ×6^2 = 144\pi (cm^2)\end{eqnarray}

【例題】半径3cmの球のの表面積を求めなさい。

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