7-1 資料の整理(要点)

度数の分布

度数分布表

資料をいくつかの区間に分けて、その区間の個数を表したものである。
階級(cm) 度数(人)
以上    未満
135∼140
2
140∼145 3
145∼150 4
150∼155 5
155∼160 10
160∼165 8
165∼170 5
170∼175 3
合計 40

上の表で135~140は135cm以上140cm未満を表している。このような区間を階級という。
ここでは、階級を5cmごとに区切っているので、階級の幅が5cmである。
それぞれの階級に入る数を度数という。

階級ごとに度数を表した表を度数分布表という。


【例題】度数分布表を見て、答えなさい。

(1)身長が150cmの生徒はどの階級に入るか答えなさい。

(2)身長が小さい方から数えて8番目の生徒はどの階級に入るか答えなさい。

(3)身長が160cm以上の生徒数を答えなさい。

ヒストグラム

度数分布表をグラフ化したものである。
135 140 145 150 155 160 165 170 175 0 2 4 6 8 10 (cm) (人)

度数分布表の階級の幅を横軸、度数を縦軸とする長方形のグラフをすき間なく横に並べたものをヒストグラム(柱状グラフ)という。

また、ヒストグラムのそれぞれの長方形の上辺の中点どうしを線分で結んだ折れ線グラフを度数分布多角形(度数折れ線)という。

相対度数

その階級の度数の合計に対する割合を相対度数という。

\[相対度数=\frac{その階級の度数}{度数の合計}\]
階級(cm) 度数(人) 相対度数
以上    未満
135∼140
2 0.05
140∼145 3 0.075
145∼150 4 0.1
150∼155 5 0.125
155∼160 10 0.25
160∼165 8 0.2
165∼170 5 0.125
170∼175 3 0.075
合計 40 1

累積度数

最初の階級から各階級までの度数を合計したものを累積度数という。

階級(cm) 度数(人) 累積度数(人)
以上    未満
135∼140
2 2
140∼145 3 5
145∼150 4 9
150∼155 5 14
155∼160 10 24
160∼165 8 32
165∼170 5 37
170∼175 3 40
合計 40

累積度数をまとめた表を累積度数分布表という。

累積相対度数

最初の階級から各階級までの相対度数を合計したものを累積相対度数という。

階級(cm) 度数(人) 相対度数 累積相対度数
以上    未満
135∼140
2 0.05 0.05
140∼145 3 0.075 0.125
145∼150 4 0.1 0.225
150∼155 5 0.125 0.35
155∼160 10 0.25 0.6
160∼165 8 0.2 0.8
165∼170 5 0.125 0.925
170∼175 3 0.075 1
合計 40 1

範囲

資料の散りばりの程度を表す値を範囲(レンジ)という。

\[範囲=最大値-最小値\]

【例】10人の体重(kg)を調べたものである。範囲を求めなさい。

37.8
58.6
43.4
43.6
58.0
47.5
47.2
52.4
51.3
46.7

最大値が58.6、最小値が37.8なので、
範囲は58.6-37.8=20.8(kg)

代表値

資料の特徴を1つの数値で表すことができる値を代表値という。

代表値には平均値、中央値、最頻値などがある。

平均値

度数分布表から平均値を求めてみる。

階級(cm) 階級値(cm) 度数(人) 階級値×度数
以上    未満
135∼140
137.5 2 275
140∼145 142.5 3 427.5
145∼150 147.5 4 590
150∼155 152.5 5 762.5
155∼160 157.5 10 1575
160∼165 162.5 8 1300
165∼170 167.5 5 837.5
170∼175 172.5 3 517.5
合計 40 6285

階級140~145に入る生徒3人をその階級の中央値142.5cmとみなしている。この中央値を階級値という。

階級値×度数を合計したものを資料の総和として、平均値を求めることができる。

\begin{eqnarray}平均値 &=& \frac{階級値×度数の合計}{度数の合計} \\ &=& \frac{6285}{40} \fallingdotseq157.1(cm)\end{eqnarray}

中央値

資料を大きさの順に並べたとき、中央にある値を中央値(メジアン)という。
個数が偶数の場合、中央の2つの値の平均値を中央値とする。

【例】10人の体重(kg)を調べたものである。中央値を求めなさい。

37.8
58.6
43.4
43.6
58.0
47.5
47.2
52.4
51.3
46.7

5番目が47.5、6番目が47.2なので、
中央値は\(\frac{47.5+47.2}{2}=47.35(kg)\)

最頻値

資料の中で、最も多く出てくる値を最頻値(モード)という。
度数分布表では、度数の最も多い階級の階級値を最頻値とする。

階級(cm) 階級値(cm) 度数(人)
以上    未満
135∼140
137.5 2
140∼145 142.5 3
145∼150 147.5 4
150∼155 152.5 5
155∼160 157.5 10
160∼165 162.5 8
165∼170 167.5 5
170∼175 172.5 3
合計 40

度数が最も大きい階級155~160の階級値157.5cmであるので、最頻値は157.5cmとなる。

近似値と誤差

近似値と誤差

重さや長さを測って得られる測定値のように、真の値とは多少の違いがあるが、真の値に近い値のことを近似値という。
また、近似値と真の値の差を誤差という。

\[誤差=近似値-真の値\]

【例題】ある数cを小数第2位で四捨五入したら17.2になった。

(1)cの範囲を不等号で表しなさい。

(2)誤差の絶対値は最大値を表しなさい。

有効数字

一の位を四捨五入して320になった。
このとき、百の位の3と十の位の2を有効数字という。
有効数字をはっきりさせたい場合、3.2×102のように表す。

【例題】次の近似値の有効数字を答えなさい。

(1)十の位を四捨五入して78500

(2)一の位を四捨五入して6500

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