数の性質
倍数
\(n\)を整数としたとき、
偶数(2の倍数):\(2n\)
3の倍数:\(3n\)
4の倍数:\(4n\)
余り
\(n\)を整数としたとき、
奇数(2で割ると1余る数):\(2n+1\)
3で割ると1余る数:\(3n+1\)
7で割ると4余る数:\(7n+4\)
【例題】偶数と奇数の和は奇数になることを証明しなさい。
\(m,n\)を整数としたとき、偶数と奇数はそれぞれ\(2m,2n+1\)と表される。
\(\ \ 2m+(2n+1)\)
=\(2m+2n+1\)
=\(2(m+n)+1\)
\(m+n\)は整数であるから、\(2(m+n)+1\)は奇数である。
よって、偶数と奇数の和は奇数である。
連続数
連続する自然数:\(n,n+1\)
連続する偶数:\(2n,2n+2\)
連続する奇数:\(2n+1,2n+3\)
自然数
十の位を\(a\)、一の位を\(b\)としたとき、
2桁の自然数:\(10a+b\)
百の位を\(a\)、十の位を\(b\)、一の位を\(c\)としたとき、
3桁の自然数:\(100a+10b+c\)
【例題】一の位が0ではない2桁の整数を\(A\)、\(A\)の十の位と一の位を入れかえてできる整数を\(B\)とする。このとき、\(A+B\)が11の倍数になることを証明しなさい。
\(A\)の十の位の数を\(x\)、一の位を\(y\)とすると、
\(A=10x+y\)
\(B=10y+x\)
と表されるので、
\(\ \ A+B\)
=\((10x+y)+(10y+x)\)
=\(11x+11y\)
=\(11(x+y)\)
\(x+y\)は整数であるから、\(11(x+y)\)は11の倍数である。
よって、A+Bは11の倍数である。
等式の変形
次のように、\(x,y\)についての等式を変形して、\(x\)の値を求めることを\(x\)について解くという。
\(y=2x+1\)
\(x\)について解くと、
\(x=\frac{y-1}{2}\)
【例題】次の式において、()内の文字について解きなさい。
(1)\(5x-7y+1=0 \ (x)\)
\(x=\frac{7y-1}{5}\)
(2)\(\frac{a}{3}+5=P \ (a)\)
\(a=3P-15\)
(3)\(4x^2y=16A \ (y)\)
\(y=\frac{4A}{x^2}\)
(4)\(V=\frac{1}{3}\pi r^2h \ (h)\)
\(h=\frac{3V}{\pi r^2}\)