【中学2年数学】3-1 1次関数｜要点まとめ

1次関数とは？（定義と基本）

【1次関数】
\(y\)は\(x\)の関数で、
\(y=ax+b\ \) (\(a,b\)は定数)
のように\(y\)が\(x\)の1次式で表されるとき、\(y\)は\(x\)の一次関数であるという。

変化の割合（傾きの意味）

【1次関数の変化の割合】
1次関数\(y=ax+b\)では、\(x\)がどの値からどれだけ増加しても、変化の割合は一定で\(x\)の係数\(a\)に等しい。
変化の割合\(\displaystyle =\frac{yの増加量}{xの増加量}=a\)

(1)\(y=5x+2\)の変化の割合を求めなさい。
\(x=0\)のとき、\(y=2\)
\(x=1\)のとき、\(y=7\)
\(x,y\)の増加量は、
\(x\)の増加量\(=1-0=1\)
\(y\)の増加量\(=7-2=5\)
よって、変化の割合は、
変化の割合\(\displaystyle =\frac{5}{1}=5\)

(2)\(y=-2x+5\)の変化の割合を求めなさい。
\(x=0\)のとき、\(y=5\)
\(x=1\)のとき、\(y=3\)
\(x,y\)の増加量は、
\(x\)の増加量\(=1-0=1\)
\(y\)の増加量\(=3-5=-2\)
よって、変化の割合は、
変化の割合\(\displaystyle =\frac{-2}{1}=-2\)

1次関数のグラフの特徴

y切片とは？

【切片】
1次関数\(y=ax+b\)のグラフは、\(y=ax\)のグラフを\(y\)軸の方向に\(b\)だけ平行移動した直線である。

1次関数\(y=ax+b\)のグラフは必ず\(y\)軸上の点\((0,b)\)を通る。
この\(b\)の値をグラフの切片という。

傾き（変化の割合との関係）

【傾き】
1次関数\(y=ax+b\)のグラフは、傾きが\(a\)の直線である。傾きは変化の割合で決まる。
(1)\(a>0\)のとき
グラフは右上がりの直線で、\(x\)の値が増加すると、\(y\)の値も増加する。

(2)\(a<0\)のとき
グラフは右下がりの直線で、\(x\)の値が増加すると、\(y\)の値は減少する。

1次関数のグラフのかき方

2点を使ったグラフのかき方

【グラフのかき方】
1次関数のグラフは直線なので、切片と傾きの値からグラフが通る\(2\)点を求め、その\(2\)点を通る直線を引けばよい。

【例】\(y=2x+2\)のグラフを描きなさい。
切片が\(2\)なので、点\((0,2)\)を通り、
傾きが\(2\)なので、\(x\)軸方向に\(1\),\(y\)軸方向に\(2\)進んだ点\((1,4)\)を通るような直線になる。

変域とグラフの範囲

【変域】
\(y=2x+2\)について、\(x\)の変域が\(-3< x\leqq 1\)のときの\(y\)の変域を求めなさい。

\(x=-3\)のとき、\(y=-4\)
\(x=1\)のとき、\(y=4\)である。
よって、\(-4< y\leqq 4\)

1次関数の式の求め方

【1次関数の式の求め方】
(1)傾きと、通る\(1\)点の座標から求める。
式\(y=ax+b\)に傾き\(a\)を代入し、さらに通る\(1\)点の座標を代入することで、\(b\)を求める。
切片がわかる場合は、式\(y=ax+b\)に傾き\(a\)と切片\(b\)を代入すればよい。

(2)切片と、通る\(1\)点の座標から求める。
式\(y=ax+b\)に切片\(b\)を代入し、さらに通る\(1\)点の座標を代入することで、\(a\)を求める。

(3)通る\(2\)点の座標から求める。
式\(y=ax+b\)に\(2\)点の座標を代入すると、\(a\)と\(b\)についての連立方程式を作ることができる。
この連立方程式を解くことで、\(a\)と\(b\)の値を求める。