【中学2年数学】4-2 合同と証明｜問題集
1.AC=DC、BC=ECのとき、△ABCと△DECが合同になることを証明しなさい。
【証明】
△ABCと△DECにおいて、
・AC=DC(仮定より)
・BC=EC(仮定より)
・∠ACB=∠DCE(対頂角は等しい)
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABC\(\equiv\)△DEC
△ABCと△DECにおいて、
・AC=DC(仮定より)
・BC=EC(仮定より)
・∠ACB=∠DCE(対頂角は等しい)
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABC\(\equiv\)△DEC
2.AD//CB、∠ABD=∠CDBのとき、△ABDと△CDBが合同になることを証明しなさい。
【証明】
△ABDと△CDBにおいて、
・BD=BD(共通)
・∠ABD=∠CDB(仮定より)
・∠ADB=∠CBD(平行線の錯角は等しい)
\(1\)辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABD\(\equiv\)△CDB
△ABDと△CDBにおいて、
・BD=BD(共通)
・∠ABD=∠CDB(仮定より)
・∠ADB=∠CBD(平行線の錯角は等しい)
\(1\)辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABD\(\equiv\)△CDB
3.AE=AD、AB=ACのとき、∠ABE=∠ACDになることを証明しなさい。
【証明】
△ABEと△ACDにおいて、
・AE=AD(仮定より)
・AB=AC(仮定より)
・∠BAE=∠CAD(共通)
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABE\(\equiv\)△ACD
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠ABE=∠ACD
△ABEと△ACDにおいて、
・AE=AD(仮定より)
・AB=AC(仮定より)
・∠BAE=∠CAD(共通)
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABE\(\equiv\)△ACD
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠ABE=∠ACD
4.APがBCの垂直二等分線のとき、APが∠BACの二等分線になることを証明しなさい。
【証明】
△ABPと△ACPにおいて、
・AP=AP(共通)
・BP=CP(APはBCの垂直二等分線)
・∠APB=∠APC(APはBCの垂直二等分線)
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABP\(\equiv\)△ACP
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠BAP=∠CAP
よって、APは∠BACの二等分線となる。
△ABPと△ACPにおいて、
・AP=AP(共通)
・BP=CP(APはBCの垂直二等分線)
・∠APB=∠APC(APはBCの垂直二等分線)
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABP\(\equiv\)△ACP
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠BAP=∠CAP
よって、APは∠BACの二等分線となる。
5.AD//CB,AD=CBのとき、AE=CEになることを証明しなさい。
【証明】
△AEDと△CEBにおいて、
・AD=CB(仮定より)
・∠EAD=∠ECB(平行線の錯角は等しい)
・∠EDA=∠EBC(平行線の錯角は等しい)
\(1\)辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△AED\(\equiv\)△CEB
合同な三角形ならば、対応する辺は等しいので、
AE=CE
△AEDと△CEBにおいて、
・AD=CB(仮定より)
・∠EAD=∠ECB(平行線の錯角は等しい)
・∠EDA=∠EBC(平行線の錯角は等しい)
\(1\)辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△AED\(\equiv\)△CEB
合同な三角形ならば、対応する辺は等しいので、
AE=CE
6.AB//DC,EF//AC,BG=DEのとき、AB=FDになることを証明しなさい。
【証明】
△ABGと△FDEにおいて、
・BG=DE(仮定より) (1)
・∠ABG=∠FDE(平行線の錯角は等しい) (2)
・∠AGB=∠CGD(対頂角は等しい) (3)
・∠CGD=∠FED(平行線の同位角は等しい) (4)
(3),(4)より、
・∠AGB=∠FED(平行線の同位角は等しい) (5)
(1),(2),(5)より、
\(1\)辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABG\(\equiv\)△FDE
合同な三角形ならば、対応する辺は等しいので、
AB=FD
△ABGと△FDEにおいて、
・BG=DE(仮定より) (1)
・∠ABG=∠FDE(平行線の錯角は等しい) (2)
・∠AGB=∠CGD(対頂角は等しい) (3)
・∠CGD=∠FED(平行線の同位角は等しい) (4)
(3),(4)より、
・∠AGB=∠FED(平行線の同位角は等しい) (5)
(1),(2),(5)より、
\(1\)辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABG\(\equiv\)△FDE
合同な三角形ならば、対応する辺は等しいので、
AB=FD
7.EがAC,BDの中点のとき、AD//BCになることを証明しなさい。
【証明】
△AEDと△CEBにおいて、
・AE=CE(EがACの中点)
・DE=BE(EがBDの中点)
・∠AED=∠CEB(対頂角は等しい)
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△AED\(\equiv\)△CEB
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠ADE=∠CBE
錯角が等しいので、
AD//BC
△AEDと△CEBにおいて、
・AE=CE(EがACの中点)
・DE=BE(EがBDの中点)
・∠AED=∠CEB(対頂角は等しい)
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△AED\(\equiv\)△CEB
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠ADE=∠CBE
錯角が等しいので、
AD//BC
8.AB=CB,AD=CDのとき、AC⊥BDになることを証明しなさい。
【証明】
△ABDと△CBDにおいて、
・AB=CB(仮定より)
・AD=CD(仮定より)
・BD=BD(共通)
\(3\)辺がそれぞれ等しいので
△ABD\(\equiv\)△CBD
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠ABE=∠CBE (1)
△ABEと△CBEにおいて、
・AB=CB(仮定より)
・BE=BE(共通)
・∠ABE=∠CBE ((1)より)
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABE\(\equiv\)△CBE
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠AEB=∠CEB
直線は180°なので、
∠AEB+∠CEB=180°
∠AEB=∠CEB=90°
よって、
AC⊥BD
△ABDと△CBDにおいて、
・AB=CB(仮定より)
・AD=CD(仮定より)
・BD=BD(共通)
\(3\)辺がそれぞれ等しいので
△ABD\(\equiv\)△CBD
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠ABE=∠CBE (1)
△ABEと△CBEにおいて、
・AB=CB(仮定より)
・BE=BE(共通)
・∠ABE=∠CBE ((1)より)
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABE\(\equiv\)△CBE
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠AEB=∠CEB
直線は180°なので、
∠AEB+∠CEB=180°
∠AEB=∠CEB=90°
よって、
AC⊥BD
9.ACが∠Aの二等分線,AE=AD,∠ABE=∠ACDのとき、AB=ACになることを証明しなさい。
【証明】
△ABEと△ACDにおいて、
・AE=AD(仮定より) (1)
・∠ABE=∠ACD(仮定より) (2)
・∠BAE=∠DAC(角の二等分線) (3)
三角形の内角の和は180°なので、
・∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE (4)
・∠ADC=180°-∠CAD-∠ACD (5)
(2),(3),(4),(5)より、
・∠AEB=∠ADC (6)
(1),(3),(6)より、
\(1\)辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABE\(\equiv\)△ACD
合同な三角形ならば、対応する辺は等しいので、
AB=AC
△ABEと△ACDにおいて、
・AE=AD(仮定より) (1)
・∠ABE=∠ACD(仮定より) (2)
・∠BAE=∠DAC(角の二等分線) (3)
三角形の内角の和は180°なので、
・∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE (4)
・∠ADC=180°-∠CAD-∠ACD (5)
(2),(3),(4),(5)より、
・∠AEB=∠ADC (6)
(1),(3),(6)より、
\(1\)辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABE\(\equiv\)△ACD
合同な三角形ならば、対応する辺は等しいので、
AB=AC
10.BDがACの垂直二等分線のとき、△ABDと△CBDが合同になることを証明しなさい。
【証明】
△ABEと△CBEにおいて、
・AE=CE(BDがACの垂直二等分線)
・BE=BE(共通)
・∠AEB=∠CEB(BDがACの垂直二等分線)
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABE\(\equiv\)△CBE
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠ABE=∠CBE (1)
△ABDと△CBDにおいて、
・AB=CB(BはACの垂直二等分線上の点)
・BD=BD(共通)
・∠ABD=∠CBD ((1)より)
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABD\(\equiv\)△CBD
△ABEと△CBEにおいて、
・AE=CE(BDがACの垂直二等分線)
・BE=BE(共通)
・∠AEB=∠CEB(BDがACの垂直二等分線)
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABE\(\equiv\)△CBE
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠ABE=∠CBE (1)
△ABDと△CBDにおいて、
・AB=CB(BはACの垂直二等分線上の点)
・BD=BD(共通)
・∠ABD=∠CBD ((1)より)
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABD\(\equiv\)△CBD
11.長方形ABCDを対角線BDを折り目として折り返す。Cが移る点をE、BEとADの交点がFのとき、△AFBと△EFDが合同になることを証明しなさい。
【証明】
△AFBと△EFDにおいて、
・AB=ED(長方形の向かい合う1辺) (1)
・∠BAF=∠DEF(長方形の1つの角) (2)
・∠AFB=∠EFD(対頂角は等しい) (3)
三角形の内角の和は180°なので、(2)、(3)より、
・∠ABF=∠EDF (4)
(1),(2),(4)より、
\(1\)辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△AFB\(\equiv\)△EFD
△AFBと△EFDにおいて、
・AB=ED(長方形の向かい合う1辺) (1)
・∠BAF=∠DEF(長方形の1つの角) (2)
・∠AFB=∠EFD(対頂角は等しい) (3)
三角形の内角の和は180°なので、(2)、(3)より、
・∠ABF=∠EDF (4)
(1),(2),(4)より、
\(1\)辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△AFB\(\equiv\)△EFD
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