合同な図形
平面上に2つの図形があり、一方を移動することにより、他方に重なり合わせることができるとき、この2つの図形は合同であるという。
四角形ABCDと四角形EFGHが合同であることを、四角形ABCD\(\equiv\)四角形EFGHと表す。
このとき、対応する頂点は同じ順序で書く。
【合同な図形の性質】
合同な図形では、対応する線分や角の大きさは等しい。このとき、対応する頂点は同じ順序で書く。
【例題】次の四角形は合同である。次の問いに答えなさい。
(1)2つの四角形が合同であることを\(\equiv\)を使って表しなさい。
四角形ABCD\(\equiv\)四角形HGFE
(2)辺BCと対応する辺を答えなさい。
辺GF
(3)辺HGの長さを答えなさい。
4cm
(4)角Eの大きさを答えなさい。
90\(°\)
三角形の合同条件
【三角形の合同条件】
2つの三角形は、次のどれかが成り立つとき合同である。(1)3辺がそれぞれ等しい。
証明のしくみ
△ABC\(\equiv\)△DEFならば、∠A=∠D
このように、「\(p\)ならば\(q\)」の形で表されていることがある。このとき、\(p\)の部分を仮定、\(q\)の部分を結論という。
合同の証明
すでに正しいと認められている事柄を根拠にして、仮定から結論を導くことを証明という。
【証明】
△BACと△EDCにおいて、
・AC=DC(点CはADの中点)
・∠BAC=∠EDC(仮定より)
・∠ACB=∠DCE(対頂角は等しい)
1辺のその両端の角がそれぞれ等しいので
△BAC\(\equiv\)△EDC
【例】点CはADの中点で、∠BAC=∠EDCのとき、△BACと△EDCが合同になることを証明しなさい。
△BACと△EDCにおいて、
・AC=DC(点CはADの中点)
・∠BAC=∠EDC(仮定より)
・∠ACB=∠DCE(対頂角は等しい)
1辺のその両端の角がそれぞれ等しいので
△BAC\(\equiv\)△EDC
【例題】AB=CB、AD=CDのとき、∠BAD=∠BCDを証明しなさい。
【証明】
△ABDと△CBDにおいて、
・AB=CB(仮定より)
・AD=CD(仮定より)
・BD=BD(共通)
3辺がそれぞれ等しいので
△ABD\(\equiv\)△CBD
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠BAD=∠BCD