4-2 合同と証明(要点)

合同な図形

平面上に2つの図形があり、一方を移動することにより、他方に重なり合わせることができるとき、この2つの図形は合同であるという。

【合同な図形の性質】

合同な図形では、対応する線分や角の大きさは等しい。
A B C D E F G H
四角形ABCDと四角形EFGHが合同であることを、四角形ABCD\(\equiv\)四角形EFGHと表す。
このとき、対応する頂点は同じ順序で書く。

【例題】次の四角形は合同である。次の問いに答えなさい。

A B C D E F G H 3cm

(1)2つの四角形が合同であることを\(\equiv\)を使って表しなさい。

(2)辺BCと対応する辺を答えなさい。

(3)辺HGの長さを答えなさい。

(4)角Eの大きさを答えなさい。

三角形の合同条件

【三角形の合同条件】

2つの三角形は、次のどれかが成り立つとき合同である。
(1)3辺がそれぞれ等しい。
A B C D E F
\[AB=DE\]\[BC=EF\]\[CA=FD\] (2)2辺とその間の角がそれぞれ等しい。
A B C D E F
\[AB=DE\]\[BC=EF\]\[∠B=∠E\] (3)1辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
A B C D E F
\[BC=EF\]\[∠B=∠E\]\[∠C=∠F\]

証明のしくみ

△ABC\(\equiv\)△DEFならば、∠A=∠D

このように、「\(p\)ならば\(q\)」の形で表されていることがある。
このとき、\(p\)の部分を仮定、\(q\)の部分を結論という。

合同の証明

すでに正しいと認められている事柄を根拠にして、仮定から結論を導くことを証明という。

【例】点CはADの中点で、∠BAC=∠EDCのとき、△BACと△EDCが合同になることを証明しなさい。

A B C D E
【証明】
△BACと△EDCにおいて、
・AC=DC(点CはADの中点)
・∠BAC=∠EDC(仮定より)
・∠ACB=∠DCE(対頂角は等しい)
1辺のその両端の角がそれぞれ等しいので
△BAC\(\equiv\)△EDC

【例題】AB=CB、AD=CDのとき、∠BAD=∠BCDを証明しなさい。

A B C D

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