【中学2年数学】5-2 四角形｜問題集
1.角の大きさをそれぞれ求めなさい。
(1)平行四辺形ABCD
\(∠x=110°,∠y=30°\)
(2)平行四辺形ABCD
\(∠x=120°,∠y=60°\)
(3)平行四辺形ABCD
\(∠x=130°,∠y=25°\)
(4)ひし形ABCD
\(∠x=76°,∠y=14°\)
(5)ひし形ABCD
\(∠x=65°,∠y=115°\)
(6)長方形ABCD
\(∠x=27°\)
2.平行四辺形ABCDで、∠BAE=∠DCFのとき、AE=CFを証明しなさい。
【証明】
△ABEと△CDFにおいて、
・AB=CD(平行四辺形の対辺は等しい)
・∠ABE=∠CDF(平行四辺形の対角は等しい)
・∠BAE=∠DCF(仮定より)
\(1\)辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABE\(\equiv\)△CDF
合同な三角形ならば、対応する辺は等しいので
AE=CF
△ABEと△CDFにおいて、
・AB=CD(平行四辺形の対辺は等しい)
・∠ABE=∠CDF(平行四辺形の対角は等しい)
・∠BAE=∠DCF(仮定より)
\(1\)辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABE\(\equiv\)△CDF
合同な三角形ならば、対応する辺は等しいので
AE=CF
3.平行四辺形ABCDで、∠ABCの二等分線と辺CDの延長線上の交点をEとする。このとき、△BCEが二等辺三角形になることを証明しなさい。
【証明】
△BCEにおいて、
・∠ABE=∠CBE(仮定より)
・∠ABE=∠CEB(AB//CDより、錯角は等しい)
よって、∠CBE=∠CEB △BCEは\(2\)角が等しいので
△BCEは二等辺三角形である。
△BCEにおいて、
・∠ABE=∠CBE(仮定より)
・∠ABE=∠CEB(AB//CDより、錯角は等しい)
よって、∠CBE=∠CEB △BCEは\(2\)角が等しいので
△BCEは二等辺三角形である。
4.平行四辺形ABCDでAB=AEとなるように辺BC上に点Eをとる。このとき、△ABCは△EADと合同になることを証明しなさい。
【証明】
△ABCと△EADにおいて、
・AB=EA(仮定より) (1)
・BC=AD(平行四辺形の対辺は等しい) (2)
・∠ABC=∠AEB(二等辺三角形の底角は等しい) (3)
・∠EAD=∠AEB(AD//BCより錯角は等しい) (4)
(3),(4)より、
・∠ABC=∠EAD (5)
(1),(2),(5)より、
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABC\(\equiv\)△EAD
△ABCと△EADにおいて、
・AB=EA(仮定より) (1)
・BC=AD(平行四辺形の対辺は等しい) (2)
・∠ABC=∠AEB(二等辺三角形の底角は等しい) (3)
・∠EAD=∠AEB(AD//BCより錯角は等しい) (4)
(3),(4)より、
・∠ABC=∠EAD (5)
(1),(2),(5)より、
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABC\(\equiv\)△EAD
5.ひし形ABCDの頂点Aから辺BC,CDに垂線をおろし、その交点をE,Fとする。このとき、△AEFは二等辺三角形になることを証明しなさい。
【証明】
△ABEと△ADFにおいて、
・∠AEB=∠AFD=90°(仮定より)
・AB=AD(ひし形の4辺は等しい)
・∠ABE=∠ADF(ひし形の対角は等しい)
直角三角形の斜辺と\(1\)つの鋭角はそれぞれ等しいので
△ABE\(\equiv\)△ADF
合同な三角形ならば、対応する辺は等しいので、
AE=AF
△AEFは\(2\)辺が等しいので、二等辺三角形となる。
△ABEと△ADFにおいて、
・∠AEB=∠AFD=90°(仮定より)
・AB=AD(ひし形の4辺は等しい)
・∠ABE=∠ADF(ひし形の対角は等しい)
直角三角形の斜辺と\(1\)つの鋭角はそれぞれ等しいので
△ABE\(\equiv\)△ADF
合同な三角形ならば、対応する辺は等しいので、
AE=AF
△AEFは\(2\)辺が等しいので、二等辺三角形となる。
6.△ABCはAB=ACの二等辺三角形である。辺BCの中点をD、辺ACの中点をEとする。DEを延長してDE=FEとなる点をFとする。このとき、四角形ADCFが長方形になることを証明しなさい。
【証明】
△ABDと△ACDにおいて、
・AB=AC(仮定より)
・AD=AD(共通)
・BD=CD(DはBCの中点)
\(3\)辺がそれぞれ等しいので
△ABD\(\equiv\)△ACD
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠ADC=∠ADB
よって、
∠ADC=90° (1)
四角形ADCFにおいて、
・AE=CE(EはACの中点)
・DE=FE(仮定より)
対角線がそれぞれの中点で交わるので、四角形ADCFは平行四辺形である。
(1)より、
平行四辺形で\(1\)つの角が\(90°\)なので、四角形ADCFは長方形である。
△ABDと△ACDにおいて、
・AB=AC(仮定より)
・AD=AD(共通)
・BD=CD(DはBCの中点)
\(3\)辺がそれぞれ等しいので
△ABD\(\equiv\)△ACD
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠ADC=∠ADB
よって、
∠ADC=90° (1)
四角形ADCFにおいて、
・AE=CE(EはACの中点)
・DE=FE(仮定より)
対角線がそれぞれの中点で交わるので、四角形ADCFは平行四辺形である。
(1)より、
平行四辺形で\(1\)つの角が\(90°\)なので、四角形ADCFは長方形である。
7.平行四辺形ABCDでEF//CDである。△ABEと同じ面積の三角形を\(3\)つ答えなさい。
△BDE
△AEF
△BGC
△AEF
△BGC
8.平行四辺形ABCDの辺BC上に点Eをとり、ABの延長線とDEを延長した線の交点をFとする。
(1)△AEDと等しい面積の三角形を答えなさい。
△DFC
(2)△ABEと等しい面積の三角形を答えなさい。
△EFC
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