1-3 式の活用(要点)

【例題】

(1)
\(x=16,y=5\)のとき、
\(x(x-7y)-(x+2y)(x-10y)\)
の値を求めなさい。

\(x(x-7y)-(x+2y)(x-10y)\)
\(=x^2-7xy-(x^2-8xy-20y^2)\)
\(=xy+20y^2\)
\(=16×5+20×5^2\)
\(=80+500\)
\(=580\)

(2)
\(x=74,y=46\)のとき、
\(x^2+2xy+y^2\)
の値を求めなさい。

\(x^2+2xy+y^2\)
\(=(x+y)^2\)
\(=(74+46)^2\)
\(=120^2\)
\(=14400\)

【例題】次の計算をしなさい。

(1)\(39^2\)

\(=(40-1)^2\)
\(=40^2-2×40+1^2\)
\(=1600-80+1\)
\(=1521\)

(2)\(51×49\)

\(=(50+1)(50-1)\)
\(=50^2-1^2\)
\(=2500-1\)
\(=2499\)

(3)\(13^2-12^2\)

\(=(13+12)(13-12)\)
\(=25×1\)
\(=25\)

【例題】連続した3つの整数のうち、中央の数の2乗から1を引いた差は、両端の数の積に等しいことを証明しなさい。

中央の数を\(n\)とすると、2乗から1を引いた差は
\(n^2-1\)
と表される。因数分解すると、
\((n-1)(n+1)\)
となり、\(n-1,n+1\)は両端の数を表しているので、中央の数の2乗から1を引いた差は、両端の数の積と等しくなる。

【例題】1辺の長さが\(p\)の正方形のまわりに幅\(a\ m\)の道をつける。この道の面積を\(S\ m^2\)、道の真ん中を通る線の長さを\(ℓ\ m\)とすると、\(S=aℓ\)となることを証明しなさい。

外側の正方形の面積は\((p+2a)^2\)、内側の正方形の面積は\(p^2\)と表せるので、道の部分\(S\)の面積は \begin{eqnarray}S &=& (p+2a)^2-p^2\ \\ &=& p^2+4ap+4a^2-p^2 \\ &=& 4ap+4a^2 \\ &=& 4a(p+a)\end{eqnarray} 点線の正方形の長さℓは \begin{eqnarray}ℓ &=& 4(p+a)\end{eqnarray} よって、 \(S=aℓ\)