【中学3年数学】1-3 式の活用｜要点まとめ
このページでは、中学3年数学の「式の活用」について要点をまとめています。式の値の求め方や計算の工夫に加え、因数分解を使った数の性質の証明や、図形の面積を利用した証明問題をわかりやすく整理しています。
式の利用の基本
式の値の求め方
【式の値】
式の値を計算するときに、展開や因数分解を利用してから代入する方が簡単に計算できることがある。
【例題】次の問いに答えなさい。
(1)\(x=16,y=5\)のとき、\(x(x-7y)-(x+2y)(x-10y)\)の値を求めなさい。
\(x(x-7y)-(x+2y)(x-10y)\)
\(=x^2-7xy-(x^2-8xy-20y^2)\)
\(=xy+20y^2\)
\(=16×5+20×5^2\)
\(=80+500\)
\(=580\)
\(=x^2-7xy-(x^2-8xy-20y^2)\)
\(=xy+20y^2\)
\(=16×5+20×5^2\)
\(=80+500\)
\(=580\)
(2)\(x=74,y=46\)のとき、\(x^2+2xy+y^2\)の値を求めなさい。
\(x^2+2xy+y^2\)
\(=(x+y)^2\)
\(=(74+46)^2\)
\(=120^2\)
\(=14400\)
\(=(x+y)^2\)
\(=(74+46)^2\)
\(=120^2\)
\(=14400\)
計算を工夫する方法
【数の計算の工夫】
数の計算するときに、展開や因数分解を利用すると簡単に計算できることがある。
【例題】次の計算をしなさい。
(1)\(39^2\)
\(=(40-1)^2\)
\(=40^2-2×40+1^2\)
\(=1600-80+1\)
\(=1521\)
\(=40^2-2×40+1^2\)
\(=1600-80+1\)
\(=1521\)
(2)\(51×49\)
\(=(50+1)(50-1)\)
\(=50^2-1^2\)
\(=2500-1\)
\(=2499\)
\(=50^2-1^2\)
\(=2500-1\)
\(=2499\)
(3)\(13^2-12^2\)
\(=(13+12)(13-12)\)
\(=25×1\)
\(=25\)
\(=25×1\)
\(=25\)
式を使った証明
数の性質を証明する
【例題】連続した\(3\)つの整数のうち、中央の数の\(2\)乗から\(1\)を引いた差は、両端の数の積に等しいことを証明しなさい。
中央の数を\(n\)とすると、\(2\)乗から\(1\)を引いた差は
\(n^2-1\)
と表される。因数分解すると、
\((n-1)(n+1)\)
となり、\(n-1,n+1\)は両端の数を表しているので、中央の数の\(2\)乗から\(1\)を引いた差は、両端の数の積と等しくなる。
\(n^2-1\)
と表される。因数分解すると、
\((n-1)(n+1)\)
となり、\(n-1,n+1\)は両端の数を表しているので、中央の数の\(2\)乗から\(1\)を引いた差は、両端の数の積と等しくなる。
図形の面積を使った証明
【例題】\(1\)辺の長さが\(p\)の正方形のまわりに幅\(a\)mの道をつける。この道の面積を\(S\)m\(^2\)、道の真ん中を通る線の長さを\(ℓ\)mとすると、\(S=aℓ\)となることを証明しなさい。
外側の正方形の面積は\((p+2a)^2\)、内側の正方形の面積は\(p^2\)と表せるので、道の部分\(S\)の面積は
\(S=(p+2a)^2-p^2\)
\(\ \ =p^2+4ap+4a^2-p^2\)
\(\ \ =4ap+4a^2\)
\(\ \ =4a(p+a)\)
点線の正方形の長さℓは
\(ℓ=4(p+a)\)
よって、\(S=aℓ\)
\(S=(p+2a)^2-p^2\)
\(\ \ =p^2+4ap+4a^2-p^2\)
\(\ \ =4ap+4a^2\)
\(\ \ =4a(p+a)\)
点線の正方形の長さℓは
\(ℓ=4(p+a)\)
よって、\(S=aℓ\)
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