【中学3年数学】2-2 平方根の計算｜要点まとめ
このページでは、中学3年数学「平方根の計算」の要点を解説します。平方根の乗法・除法、分母の有理化、加法・減法、近似値の計算方法を整理し、基礎から応用まで理解できるようにまとめています。
平方根の乗法・除法
平方根の掛け算と割り算の基本
【平方根の乗法、除法】
\(a\geqq0,b\geqq0\)のとき、
乗法:\(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)
除法:\(\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)
【例題】次の計算をしなさい。
平方根の簡単化（ルートの中を簡単にする）
【平方根の簡略化】
\(a\geqq0,b\geqq0\)のとき、\(\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}\)
【例題】次の数を簡略化しなさい。
\(=2\sqrt{3}\)
\(\displaystyle =\sqrt{\frac{5}{10^2}}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{5}}{10}\)
分母の有理化
【分母の有理化】
分母に根号が含まれているとき、分母と分子に同じ数をかけることで根号を含まない形に変形することを分母の有理化という。
\(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
【例題】次の数の分母を有理化しなさい。
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{15}}{3}\)
\(\displaystyle =\frac{2\sqrt{6}}{3×6}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{6}}{9}\)
平方根の近似値を使った計算
【例題】\(\sqrt{5}=2.24\)とするとき、次の値を求めなさい。
\(=10\sqrt{5}\)
\(=10×2.24\)
\(=22.4\)
\(\displaystyle =\frac{5\sqrt{5}}{20}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{5}}{4}\)
\(\displaystyle =\frac{2.24}{4}\)
\(=0.56\)
平方根の加法・減法
【平方根の加法、減法】
\(\sqrt{\ \ }\)の中が等しい数は、同類項と同じように計算することができる。
加法:\(m\sqrt{a}+n\sqrt{a}=(m+n)\sqrt{a}\)
減法:\(m\sqrt{a}-n\sqrt{a}=(m-n)\sqrt{a}\)
・\(\sqrt{\ \ }\)の中の数をできるだけ簡略化してから計算する。
・分母に根号を含む数は、分母を有理化してから計算する。
【例題】次の計算をしなさい。
\(=6\sqrt{5}\)
\(=3\sqrt{2}\)
\(=8\sqrt{2}\)
\(=-\sqrt{2}+\sqrt{3}\)
\(\displaystyle =\frac{6\sqrt{2}-5\sqrt{2}}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{2}\)
平方根を使った複合計算
【例題】次の計算をしなさい。
\(=3\sqrt{2}-4\sqrt{5}\)
\(=6+2\sqrt{3}\)
\(=3+3\sqrt{3}-10\)
\(=-7+3\sqrt{3}\)
\(=(a+2)(a-2)\)
\(=(\sqrt{3}-2+2)(\sqrt{3}-2-2)\)
\(=\sqrt{3}(\sqrt{3}-4)\)
\(=3-4\sqrt{3}\)