3-1 2次方程式の解き方(要点)

2次方程式とその解

2次式を含む等式を二次方程式という。
\[x^2+4x-45=0\] 2次方程式を成り立たせる文字の値をという。

2次方程式の解き方

平方根による解き方

左辺を2次式の形にして、\(x\)を平方根の形で表すことができる。 \begin{eqnarray}x^2+2x-4 &=& 0 \\ x^2+2x+1 &=& 5 \\ (x+1)^2 &=& 5 \\ x+1 &=& \pm\sqrt{5} \\ x &=& -1\pm\sqrt{5}\end{eqnarray}

【例題】次の計算をしなさい。

(1)\(x^2-4=0\)

(2)\((x+1)^2=9\)

(3)\(x^2+6x-1=0\)

因数分解による解き方

\(AB=0\)となるとき、
\(A=0\)または、\(B=0\)である。
2次方程式の左辺を因数分解して\((x-a)(x-b)=0\)の形にすれば、
\(x-a=0\)または\(x-b=0\)となり、解は\(x=a,x=b\)である。
\begin{eqnarray}x^2+x-12 &=& 0 \\ (x+4)(x-3) &=& 0\end{eqnarray} \begin{cases}x+4=0 \\ x-3=0\end{cases} \[x=3,x=-4\]

【例題】次の計算をしなさい。

(1)\((x+5)(x-1)=0\)

(2)\(x^2+8x+12=0\)

解の公式による解き方

平方根や因数分解の考え方を使っても2次方程式が解けないとき、解の公式を使って解くことができる。

【2次方程式の解の公式】

2次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の解は \[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

【例題】次の計算をしなさい。

(1)\(2x^2+3x-1=0\)

(2)\(5x^2-9x+3=0\)

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1章 式の展開と因数分解 2章 平方根 3章 2次方程式 4章 関数 5章 相似な図形 6章 円 7章 三平方の定理 8章 標本調査
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