3-1 2次方程式の解き方(要点)

2次方程式とその解

2次式を含む等式を二次方程式という。
\[x^2+4x-45=0\] 2次方程式を成り立たせる文字の値を解という。

2次方程式の解き方

平方根による解き方

左辺を2次式の形にして、\(x\)を平方根の形で表すことができる。 \begin{eqnarray}x^2+2x-4 &=& 0 \\ x^2+2x+1 &=& 5 \\ (x+1)^2 &=& 5 \\ x+1 &=& \pm\sqrt{5} \\ x &=& -1\pm\sqrt{5}\end{eqnarray}

【例題】次の計算をしなさい。

(1)\(x^2-4=0\)

\begin{eqnarray}x^2 &=& 4 \\ x &=& \pm2\end{eqnarray}

(2)\((x+1)^2=9\)

\[x+1=\pm3\] \begin{cases}x+1=3 \\ x+1=-3\end{cases} \[x=2,x=-4\]

(3)\(x^2+6x-1=0\)

\begin{eqnarray}x^2+6x+9 &=& 10 \\ (x+3)^2 &=& 10 \\ x+3 &=& \pm\sqrt{10} \\ x &=& -3\pm\sqrt{10}\end{eqnarray}

因数分解による解き方

\(AB=0\)となるとき、
\(A=0\)または、\(B=0\)である。
2次方程式の左辺を因数分解して\((x-a)(x-b)=0\)の形にすれば、
\(x-a=0\)または\(x-b=0\)となり、解は\(x=a,x=b\)である。
\begin{eqnarray}x^2+x-12 &=& 0 \\ (x+4)(x-3) &=& 0\end{eqnarray} \begin{cases}x+4=0 \\ x-3=0\end{cases} \[x=3,x=-4\]

【例題】次の計算をしなさい。

(1)\((x+5)(x-1)=0\)

\begin{cases}x+5=0 \\ x-1=0\end{cases} \[x=1,x=-5\]

(2)\(x^2+8x+12=0\)

\[(x+6)(x+2)=0\] \begin{cases}x+6=0 \\ x+2=0\end{cases} \[x=-2,x=-6\]