【中学3年数学】5-1 相似な図形｜問題集
1.次の図でAB\(=12\),BD\(=9\),DC\(=7\),AD\(=10.5\)である。
(1)△ABCと△DBAが相似になることを証明しなさい。
【証明】
△ABCと△DBAにおいて、
・AB:DB\(=12:9=4:3\)(仮定より)
・BC:BA\(=16:12=4:3\)(仮定より)
・∠ABC=∠DBA(共通)
\(2\)組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABC\(\unicode[sans-serif]{x223D}\ \ \ \ \)△DBA
△ABCと△DBAにおいて、
・AB:DB\(=12:9=4:3\)(仮定より)
・BC:BA\(=16:12=4:3\)(仮定より)
・∠ABC=∠DBA(共通)
\(2\)組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABC\(\unicode[sans-serif]{x223D}\ \ \ \ \)△DBA
(2)ACの長さを求めなさい。
(1)より、AC:DA\(=4:3\)
ACの長さを\(x\)とすると、
\(x:10.5=4:3\)
\(x=14\)
よって、
【答】\(AC=14\)
ACの長さを\(x\)とすると、
\(x:10.5=4:3\)
\(x=14\)
よって、
【答】\(AC=14\)
2.次の図で∠ABC=∠AEDである。
(1)△ABCと△AEDが相似になることを証明しなさい。
【証明】
△ABCと△AEDにおいて、
・∠ABC=∠AED(仮定より)
・∠BAC=∠EAD(共通)
\(2\)組の角がそれぞれ等しいので
△ABC\(\unicode[sans-serif]{x223D}\ \ \ \ \)△AED
△ABCと△AEDにおいて、
・∠ABC=∠AED(仮定より)
・∠BAC=∠EAD(共通)
\(2\)組の角がそれぞれ等しいので
△ABC\(\unicode[sans-serif]{x223D}\ \ \ \ \)△AED
(2)AB\(=12\),BC\(=8\),AC\(=9\),DがABの中点であるとき、AEの長さを求めなさい。
AE\(=8\)
(3)AB\(=12\),BC\(=8\),AC\(=9\),DがABの中点であるとき、DEの長さを求めなさい。
DE\(\displaystyle =\frac{16}{3}\)
3.次の図でAB\(=12\),AC\(=9\),∠ACB\(=2\)∠ABC,∠ACBの二等分線と辺ABとの交点をDとする。
(1)△ABCと△AEDが相似になることを証明しなさい。
【証明】
△ABCと△ACDにおいて、
・∠BAC\(=\)∠EAD(共通) (1)
・∠ACB\(=2\)∠ACD(∠ACBの二等分線) (2)
・∠ACB\(=2\)∠ABC(仮定より) (3)
(2),(3)より、
・∠ABC=∠ACD (4)
(1),(4)より、
\(2\)組の角がそれぞれ等しいので
△ABC\(\unicode[sans-serif]{x223D}\ \ \ \ \)△ACD
△ABCと△ACDにおいて、
・∠BAC\(=\)∠EAD(共通) (1)
・∠ACB\(=2\)∠ACD(∠ACBの二等分線) (2)
・∠ACB\(=2\)∠ABC(仮定より) (3)
(2),(3)より、
・∠ABC=∠ACD (4)
(1),(4)より、
\(2\)組の角がそれぞれ等しいので
△ABC\(\unicode[sans-serif]{x223D}\ \ \ \ \)△ACD
(2)ADの長さを求めなさい。
相似比はAB:AC\(=12:9=4:3\)
ADの長さを\(x\)とすると、
\(9:x=4:3\)
\(\displaystyle x=\frac{27}{4}\)
よって、
【答】AD\(\displaystyle =\frac{27}{4}\)
ADの長さを\(x\)とすると、
\(9:x=4:3\)
\(\displaystyle x=\frac{27}{4}\)
よって、
【答】AD\(\displaystyle =\frac{27}{4}\)
(3)BCの長さを求めなさい。
△DBCにおいて、
・∠ACB\(=2\)∠DCB(∠ACBの二等分線)
・∠ACB\(=2\)∠DBC(仮定より)
\(2\)つの底角が等しければ、二等辺三角形なので、
・CD=BD
CD\(=\)AB\(-\)AD
\(\displaystyle \ \ \ =12-\frac{27}{4}\)
\(\displaystyle \ \ \ =\frac{21}{4}\)
BCの長さを\(x\)とすると、
相似比はBC:CD\(\displaystyle =12:9=x:\frac{21}{4}\)
\(x=7\)
【答】BC\(=7\)
・∠ACB\(=2\)∠DCB(∠ACBの二等分線)
・∠ACB\(=2\)∠DBC(仮定より)
\(2\)つの底角が等しければ、二等辺三角形なので、
・CD=BD
CD\(=\)AB\(-\)AD
\(\displaystyle \ \ \ =12-\frac{27}{4}\)
\(\displaystyle \ \ \ =\frac{21}{4}\)
BCの長さを\(x\)とすると、
相似比はBC:CD\(\displaystyle =12:9=x:\frac{21}{4}\)
\(x=7\)
【答】BC\(=7\)
4.平行四辺形ABCDでAD\(=8\),DE\(=6\),∠AEB\(=\)∠EDCとする。
(1)△ADEと△DECが相似になることを証明しなさい。
【証明】
△ADEと△DECにおいて、
・∠AEB=∠EDC(仮定より) (1)
・∠AEB=∠DAE(平行の錯角は等しい) (2)
・∠ADE=∠DEC(平行の錯角は等しい) (3)
(1),(2)より、
・∠DAE=∠EDC (4)
(3),(4)より、
\(2\)組の角がそれぞれ等しいので
△ADE\(\unicode[sans-serif]{x223D}\ \ \ \ \)△DEC
△ADEと△DECにおいて、
・∠AEB=∠EDC(仮定より) (1)
・∠AEB=∠DAE(平行の錯角は等しい) (2)
・∠ADE=∠DEC(平行の錯角は等しい) (3)
(1),(2)より、
・∠DAE=∠EDC (4)
(3),(4)より、
\(2\)組の角がそれぞれ等しいので
△ADE\(\unicode[sans-serif]{x223D}\ \ \ \ \)△DEC
(2)BEの長さを求めなさい。
BEの長さを\(x\)とすると、
EC\(=8-x\)
\(8:6=6:(8-x)\)
\(8(8-x)=36\)
\(\displaystyle x=\frac{7}{2}\)
よって、
【答】BE\(\displaystyle =\frac{7}{2}\)
EC\(=8-x\)
\(8:6=6:(8-x)\)
\(8(8-x)=36\)
\(\displaystyle x=\frac{7}{2}\)
よって、
【答】BE\(\displaystyle =\frac{7}{2}\)
5.△ABCと△ADEは共に正三角形である。このとき、△ADFと△ECFが相似になることを証明しなさい。
【証明】
△ABDと△ACEにおいて、
・AB=AC(△ABCは正三角形) (1)
・AD=AE(△ADEは正三角形) (2)
・∠BAD=∠BAC-∠DAC (3)
・∠CAE=∠DAE-∠DAC (4)
・∠BAC=∠DAE=60°(正三角形の内角は60°) (5)
(3),(4),(5)より、
・∠BAD=∠CAE; (6)
(1),(2),(6)より、
2辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABD\(\equiv\)△ACE
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠ABD=∠ACE=60° (7)
・∠ADF=60° (正三角形の内角は60°)(8)
(7),(8)より、
・∠ADF=∠FCE; (9)
・∠AFD=∠EFC; (10)
(9),(10)より、
2組の角がそれぞれ等しいので
△ADF\(\unicode[sans-serif]{x223D}\ \ \ \ \)△ECF
△ABDと△ACEにおいて、
・AB=AC(△ABCは正三角形) (1)
・AD=AE(△ADEは正三角形) (2)
・∠BAD=∠BAC-∠DAC (3)
・∠CAE=∠DAE-∠DAC (4)
・∠BAC=∠DAE=60°(正三角形の内角は60°) (5)
(3),(4),(5)より、
・∠BAD=∠CAE; (6)
(1),(2),(6)より、
2辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABD\(\equiv\)△ACE
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠ABD=∠ACE=60° (7)
・∠ADF=60° (正三角形の内角は60°)(8)
(7),(8)より、
・∠ADF=∠FCE; (9)
・∠AFD=∠EFC; (10)
(9),(10)より、
2組の角がそれぞれ等しいので
△ADF\(\unicode[sans-serif]{x223D}\ \ \ \ \)△ECF
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