5-1 相似な図形(要点)

相似な図形

ある図形を形はそのままに拡大または縮小した図形があるとき、この2つの図形は相似であるという。

【相似な図形の性質】

(1)相似な図形では、対応する線分の長さの比が全て等しい。
(2)相似な図形では、対応する角の大きさはそれぞれ等しい。

相似比

相似な図形で対応する線分の比を相似比という。
四角形ABCDと四角形EFGHの相似比は\(1:2\)である。
A B C D E F G H
四角形ABCDと四角形EFGHが相似であることを、四角形ABCD\(\unicode[sans-serif]{x223D}\)四角形EFGHと表す。
このとき、対応する頂点は同じ順序で書く。

【例題】次の三角形は相似である。次の問いに答えなさい。

A B C D E F

(1)2つの三角形が相似であることを\(\unicode[sans-serif]{x223D}\)を使って表しなさい。

(2)辺ABと対応する辺を答えなさい。

(3)∠ACBと対応する角を答えなさい。

(4)AB=5のとき、DEの長さを答えなさい。

(5)△ABCと△DEFの相似比を答えなさい。

相似の中心

2つの図形の対応する点を結ぶ直線が全て点Oを通り、点Oから対応する点までの長さの比が全て等しいとき、2つの図形は相似の位置にあるという。また、この点Oを相似の中心という。
O A B C A' B' C' O D E F D' E' F'

【例題】点Oを相似の中心として、△ABCの2分の1に縮小した△A'B'C'を描きなさい。

O A B C

三角形の相似条件

【三角形の相似条件】

2つの三角形は、次のどれかが成り立つとき相似である。
(1)3組の辺の比がすべて等しい。
A B C A' B' C' a b c a' b' c'
\[a:a'=b:b'=c:c'\] (2)2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
A B C A' B' C' a c a' c'
\[a:a'=c:c'\]\[∠B=∠B'\] (3)2組の角がそれぞれ等しい。
A B C A' B' C'
\[∠B=∠B'\]\[∠C=∠C'\]

相似の証明

【例】∠BAC=∠ADCのとき、△ABCと△DACが相似になることを証明しなさい。

A B C D
【証明】
△ABCと△DACにおいて、
・∠BAC=∠ADC(仮定より)
・∠ACB=∠DCA(共通)
2組の角がそれぞれ等しいので
△ABC\(\unicode[sans-serif]{x223D}\)△DAC

【例題】AB=5,AC=10,AD=4,AE=2のとき、△ABCと△AEDが相似になることを証明しなさい。

A B C D E 10 5 4 2

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