相似な図形
ある図形を形はそのままに拡大または縮小した図形があるとき、この2つの図形は相似であるという。
(2)相似な図形では、対応する角の大きさはそれぞれ等しい。
四角形ABCDと四角形EFGHの相似比は\(1:2\)である。
四角形ABCDと四角形EFGHが相似であることを、四角形ABCD\(\unicode[sans-serif]{x223D}\)四角形EFGHと表す。
このとき、対応する頂点は同じ順序で書く。
【相似な図形の性質】
(1)相似な図形では、対応する線分の長さの比が全て等しい。(2)相似な図形では、対応する角の大きさはそれぞれ等しい。
相似比
相似な図形で対応する線分の比を相似比という。四角形ABCDと四角形EFGHの相似比は\(1:2\)である。
このとき、対応する頂点は同じ順序で書く。
【例題】次の三角形は相似である。次の問いに答えなさい。
(1)2つの三角形が相似であることを\(\unicode[sans-serif]{x223D}\)を使って表しなさい。
△ABC\(\unicode[sans-serif]{x223D}\)△DEF
(2)辺ABと対応する辺を答えなさい。
辺DE
(3)∠ACBと対応する角を答えなさい。
∠DFE
(4)AB=5のとき、DEの長さを答えなさい。
10
(5)△ABCと△DEFの相似比を答えなさい。
1:2
相似の中心
2つの図形の対応する点を結ぶ直線が全て点Oを通り、点Oから対応する点までの長さの比が全て等しいとき、2つの図形は相似の位置にあるという。また、この点Oを相似の中心という。【例題】点Oを相似の中心として、△ABCの2分の1に縮小した△A'B'C'を描きなさい。
三角形の相似条件
【三角形の相似条件】
2つの三角形は、次のどれかが成り立つとき相似である。(1)3組の辺の比がすべて等しい。
相似の証明
【例】∠BAC=∠ADCのとき、△ABCと△DACが相似になることを証明しなさい。
△ABCと△DACにおいて、
・∠BAC=∠ADC(仮定より)
・∠ACB=∠DCA(共通)
2組の角がそれぞれ等しいので
△ABC\(\unicode[sans-serif]{x223D}\)△DAC
【例題】AB=5,AC=10,AD=4,AE=2のとき、△ABCと△AEDが相似になることを証明しなさい。
【証明】
△ABCと△AEDにおいて、
・AB:AE=5:2(仮定より)
・AC:AD=10:4=5:2(仮定より)
・∠BAC=∠EAD(共通)
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABC\(\unicode[sans-serif]{x223D}\)△AED