【中学3年数学】5-3 相似と面積比・体積比｜問題集

Q: 相似な図形の面積比はどうなりますか？

相似比が a:b のとき、相似な図形の面積比は a^2:b^2 になります。

Q: 相似な立体の体積比はどうなりますか？

相似比が a:b のとき、相似な立体の体積比は a^3:b^3 になります。

Q: どのようなテスト対策に役立ちますか？

中学3年生の定期テスト対策や、高校入試の図形問題対策に役立ちます。特に相似を利用した面積・体積の計算問題は入試頻出分野です。

Question 1

(1)△ABCと△ADEの面積比を求めなさい。

Answer

BC\(:\)DE\(=6:4=3:2\)
よって、面積比は \(3^2:2^2=9:4\)

Question 2

(2)△ABCの面積が\(27\)cm\(^2\)のとき、△ADEの面積を求めなさい。

Answer

△ADEの面積を\(x\)とすると、
\(27:x=9:4\)
\(x=12\)
よって、\(12\)cm\(^2\)

Question 3

(1)△ABCの周の長さが\(18\)cmのとき、△AMNの周の長さを求めなさい。

Answer

△ABCと△AMNの相似比は\(2:1\)なので、周の長さの比も\(2:1\)となる。△AMNの周の長さを\(x\)とすると、
\(18:x=2:1\)
\(x=9\)
よって、\(9\)cm

Question 4

(2)△ABCの面積が\(20\)cm\(^2\)のとき、台形MBCNの面積を求めなさい。

Answer

△ABCと△AMNの相似比は\(2:1\)なので、面積比は\(4:1\)となる。△AMNの面積を\(x\)とすると、
\(20:x=4:1\)
\(x=5\)
台形MBCNの面積は
△ABC\(-\)△AMN\(=20-5=15\)
よって、\(15\)cm\(^2\)

Question 5

(1)△DBAの周の長さを求めなさい。

Answer

△ABCと△DBAにおいて
・∠BAC\(=\)∠BDA\(=90°\)(仮定より)
・∠ABC\(=\)∠DBA(共通)
\(2\)組の角がそれぞれ等しい。
△ABC\(\unicode[sans-serif]{x223D}\ \ \ \ \)△DBA
相似比はBC\(:\)BA\(=5:4\)なので、周の長さの比も\(5:4\)
△DBAの周の長さを\(x\)とすると、
\((3+4+5):x=5:4\)
\(\displaystyle x=\frac{48}{5}\)

Question 6

(2)△DBAの面積を求めなさい。

Answer

相似比はBC\(:\)BA\(=5:4\)なので、面積比は\(25:16\)
△DBAの面積を\(x\)とすると、
\(6:x=25:16\)
\(\displaystyle x=\frac{96}{25}\)

Question 7

(1)円柱Pと円柱Qの表面積の比を求めなさい。

Question 8

(2)円柱Pの表面積が\(45\)cm\(^2\)のとき、円柱Qの表面積を求めなさい。

Answer

円柱Qの表面積を\(x\)とすると、
\(45:x=9:16\)
\(x=80\)
よって、\(80\)cm\(^2\)

Question 9

(3)円柱Pと円柱Qの体積の比を求めなさい。

Question 10

(4)円柱Pの体積が\(135\)cm\(^3\)のとき、円柱Qの体積を求めなさい。

Answer

円柱Qの体積を\(x\)とすると、
\(135:x=27:64\)
\(x=320\)
よって、\(320\)cm\(^3\)

Question 11

(1)容器の容積と水の体積の比を求めなさい。

Answer

相似比は\(16:12=4:3\)なので、
\(64:27\)

Question 12

(2)水の体積が\(297\)cm\(^3\)のとき、容器の容積を求めなさい。

Answer

容器の体積を\(x\)とすると、
\(x:297=64:27\)
\(x=704\)
よって、\(704\)cm\(^3\)