三平方の定理
【三平方の定理(ピラゴラスの定理)】
直角三角形の直角をはさむ2辺の長さを\(a,b\)、斜辺の長さを\(c\)とすると、次の関係が成り立つ。 \[a^2+b^2=c^2\]【例題】\(x\)の値を求めなさい。
(1)
\(1^2+3^2=x^2\)
\(x^2=10\)
\(x>0\)より
\(x=\sqrt{10}\)
(2)
\(x^2+12^2=15^2\)
\(x^2=81\)
\(x>0\)より
\(x=9\)
(3)
\(7^2+24^2=x^2\)
\(x^2=625\)
\(x>0\)より
\(x=25\)
(4)
\(x^2+6^2=7^2\)
\(x^2=13\)
\(x>0\)より
\(x=\sqrt{13}\)
三平方の定理の逆
【三平方の定理の逆】
三角形の3辺の長さ\(a,b,c\)の間に、\(a^2+b^2=c^2\)という関係が成り立つとき、 その三角形は長さ\(c\)の辺を斜辺とする直角三角形である。【例題】次の長さを3辺とする三角形が、直角三角形であるか確認しなさい。
(1)7cm,8cm,\(\sqrt{15}\)cm
\(a=7,b=\sqrt{15},c=8\)とすると、
\(a^2+b^2=7^2+(\sqrt{15})^2=64\)
\(c^2=8^2=64\)
\(a^2+b^2=c^2\)が成り立つので、
直角三角形である。
(2)1.5cm,2.5cm,2cm
\(a=1.5,b=2,c=2.5\)とすると、
\(a^2+b^2=1.5^2+2^2=6.25\)
\(c^2=2.5^2=6.25\)
\(a^2+b^2=c^2\)が成り立つので、
直角三角形である。
(3)\(\sqrt{3}\)cm,2\(\sqrt{2}\)cm,\(\sqrt{10}\)cm
\(a=\sqrt{3},b=2\sqrt{2},c=\sqrt{10}\)とすると、
\(a^2+b^2=(\sqrt{3})^2+(2\sqrt{2})^2=11\)
\(c^2=(\sqrt{10})^2=10\)
\(a^2+b^2=c^2\)が成り立たないので、
直角三角形ではない。
(4)\(\frac{13}{3}\)cm,4cm,\(\frac{5}{3}\)cm
\(a=4,b=\frac{5}{3},c=\frac{13}{3}\)とすると、
\(a^2+b^2=4^2+(\frac{5}{3})^2=\frac{169}{9}\)
\(c^2=(\frac{13}{3})^2=\frac{169}{9}\)
\(a^2+b^2=c^2\)が成り立つので、
直角三角形である。