三平方の定理はどのように平面図形に利用されますか？

図形に対角線や垂線を引いて直角三角形を作ることで、三平方の定理を利用して長さを求めることができます。

特別な直角三角形とは何ですか？

辺の比が 1:1:√2 や 3:4:5 などの決まった関係を持つ直角三角形を特別な直角三角形と呼び、計算を簡単にするためによく使われます。

座標平面上の2点 (x1, y1), (x2, y2) の距離は √((x2-x1)^2+(y2-y1)^2) で求められます。これは三平方の定理を利用した公式です。

このページでは、中学3年数学「三平方の定理の平面図形への利用」について要点をまとめています。特別な直角三角形の性質や、対角線・高さ・弦・接線・2点間の距離を三平方の定理を使って求める方法を整理しました。定期テストや入試対策の基礎固めに役立ちます。

【特別な三角形の比】
(1)\(3\)つの角が\(45°,45°,90°\)の直角二等辺三角形の\(3\)辺の長さの比は\(1:1:\sqrt{2}\)となる。

(2)\(3\)つの角が\(30°,60°,90°\)の直角三角形の\(3\)辺の長さの比は\(1:2:\sqrt{3}\)となる。

【例題】\(x,y\)の値を求めなさい。

(1)

(2)

【例題】それぞれの四角形の対角線の長さを求めなさい。

(1)\(1\)辺\(8\)cmの正方形

(2)縦\(3\)cm,横\(4\)cmの長方形

【三角形の高さ】
二等辺三角形の頂点から底辺に垂線をひくと、合同な直角三角形が\(2\)つできるので垂線と底辺の交点が底辺の中点になる。

【例題】それぞれの三角形で頂点から底辺におろした垂線の長さを求めなさい。

(1)\(1\)辺\(8\)cmの正三角形

(2)\(3\)辺が\(10\)cm,\(10\)cm,\(12\)cmの二等辺三角形

【弦の長さ】
円の中心から弦に垂線をひくと、弦の垂直二等分線になる。

【例題】次の問いに答えなさい。

(1)半径\(10\)cmの円で中心Oから弦までの距離が\(6\)cmのとき、弦の長さを求めなさい。

(2)半径\(7\)cmの円で弦の長さが\(10\)cmのとき、中心Oから弦までの距離を求めなさい。

円Oの円外の点から引いた接線と、円の半径は垂直になる。

【例題】次の問いに答えなさい。

(1)半径\(4\)cmの円Oと、中心からの距離が\(12\)cmのとき、接線の長さを求めなさい。

(2)円Oの中心からの距離が\(37\)cmに点があり、点からひいた接線の長さが\(35\)cmのとき、円の半径を求めなさい。

【2点間の距離】
座標平面上の2点間の距離は以下のように求めることができる。
(2点間の距離)\(^2\)=(\(x\)座標の差)\(^2\)+(\(y\)座標の差)\(^2\)

【例題】次の\(2\)点間の距離を求めなさい。

(1)\((1,7),(3,4)\)

(2)\((-1,2),(5,10)\)

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