単項式の乗法
\(a\)を\(n\)個かけあわせた式を\(a^n\)と書き、\(a\)の\(n\)乗と読む。このとき、\(n\)を指数という。
\(a^2\)を平方、\(a^3\)を立方ともいい、\(a,a^2,a^3,・・・\)を\(a\)の累乗という。
【指数法則】
\(m\)、\(n\)が正の整数のとき、
(1)\(a^m\)×\(a^n\)=\(a^{m+n}\)
(2)\((a^m)^n\)=\(a^{mn}\)
(3)\((ab)^n\)=\(a^nb^n\)
【例題】次の計算をしなさい。
(1)\(3x^2×4x^5\)
\(=12x^7\)
(2)\(2ab^3×(-2a^2b)\)
\(=-4a^3b^4\)
(3)\((x^4)^2\)
\(=x^8\)
(4)\((-4a^3b^2)^3\)
\(=-64a^9b^6\)
多項式の乗法
分配法則
【分配法則】
(1)\(A(B+C)\)=\(AB+AC\)
(2)\((B+C)A\)=\(BA+CA\)
分配法則を使って、単項式の和の形に表すことができる。これを展開するという。
【例題】次の式を展開しなさい。
(1)\(2x(x^2-3x+2)\)
\(=2x^3-6x^2+4x\)
(2)\((-3a^3+2a-7)×a\)
\(=-3a^4+2a^2-7a\)
乗法公式
【乗法公式】
(1)\((a+b)^2\)=\(a^2+2ab+b^2\)
(2)\((a-b)^2\)=\(a^2-2ab+b^2\)
(3)\((a+b)(a-b)\)=\(a^2-b^2\)
(4)\((x+a)(x+b)\)=\(x^2+(a+b)x-b^2\)
(5)\((ax+b)(cx+d)\)=\(acx^2+(ad+bc)x+bd\)
(6)\((a+b)^3\)=\(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
(7)\((a-b)^3\)=\(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
(8)\((a+b)(a^2-ab+b^2)\)=\(a^3+b^3\)
(9)\((a-b)(a^2+ab+b^2)\)=\(a^3-b^3\)
【例題】次の式を展開しなさい。
(1)\((x+3)^2\)
\(=x^2+6x+9\)
(2)\((a-2)^2\)
\(=a^2-4a+4\)
(3)\((2x+3)^2\)
\(=4x^2+12x+9\)
(4)\((3a-2b)^2\)
\(=9a^2-12ab+4b^2\)
(5)\((2x-3)(2x+3)\)
\(=4x^2-9\)
(6)\((a+2b)(a-2b)\)
\(=a^2-4b^2\)
(7)\((x-2)(x+5)\)
\(=x^2+3x-10\)
(8)\((2a-5)(2a-3)\)
\(=4a^2-16a+15\)
(9)\((3x+1)(x+3)\)
\(=3x^2+10x+3\)
(10)\((2a-b)(3a-4b)\)
\(=6a^2-11ab+4b^2\)
(11)\((a+b-c)^2\)
\(=a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\)
(12)\((2x+5)^3\)
\(=8x^3+60x^2+150x+125\)
(13)\((x-2y)^3\)
\(=x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3\)
(14)\((x+2)(x^2-2x+4)\)
\(=x^3+8\)
(15)\((2a-1)(4a^2+2a+1)\)
\(=8a^3-1\)
展開の工夫
【例題】次の式を展開しなさい。
(1)\((2x-y+3)(2x-y+4)\)
\(=(2x-y)^2+7(2x-y)+12\)
\(=4x^2-4xy+y^2+14x-7y+12\)
(2)\((x^2+1)(x+1)(x-1)\)
\(=(x^2+1)(x^2-1)\)
\(=x^4-1\)
(3)\((x+1)(x-1)(x-2)(x-4)\)
\(=(x+1)(x-4)(x-1)(x-2)\)
\(=(x^2-3x-4)(x^2-3x+2)\)
\(=(x^2-3x)^2-2(x^2-3x)-8\)
\(=x^4-6x^3+9x^2-2x^2+6x-8\)
\(=x^4-6x^3+7x^2+6x-8\)
(4)\((x+1)^2(x-1)^2\)
\(=\{(x+1)(x-1)\}^2\)
\(=(x^2-1)^2\)
\(=x^4-2x^2+1\)