【高校数学Ⅰ】1-1-4 因数分解｜要点まとめ

このページでは、高校数学Ⅰの「因数分解」についてわかりやすくまとめています。共通因数のくくり出し、たすき掛け、公式の活用、計算の工夫までを例題つきで解説。基礎から応用まで幅広く学べるので、家庭学習や定期テスト対策に最適です。

共通因数のくくり出し

【共通因数のくくり出し】
整式を\(2\)つ以上の整式の積の形に表すことを因数分解といい、積を作っている各整式を因数という。
整式の各項に共通な因数があれば、それを括弧の外にくくり出す。
(1)\(AB+AC=A(B+C)\)
(2)\(AB-AC=A(B-C)\)

【例題】次の式を因数分解しなさい。

(1)\(3x^2y+2xy^2\)
(2)\(4ab^3-6a^2b^2\)
(3)\((x-y)a-(x-y)b\)
(4)\((a-b)x+(b-a)y\)

たすき掛け

【たすき掛け】
\(acx^2+(ad+bc)x+bd\)=\((ax+b)(cx+d)\)
このような因数分解をたすき掛けといい、図を用いるとよい。
たすき掛けの説明図(1) ax cx acx2 b d bd bcx adx ad+bcx
【例】\(4x^2-8x+3\)を因数分解しなさい。
(1)\(ac=4,ad+bc=-8,bd=3\)となる。
たすき掛けの説明図(2) ax cx 4x2 b d 3 bcx adx -8x
(2)条件に当てはまるパターンは\(a=2,b=-3,c=2,d=-1\)となる。
たすき掛けの説明図(3) 2x 2x 4x2 -3 -1 3 -6x -2x -8x
よって、
\(4x^2-8x+3=(2x-3)(2x-1)\)

【例題】次の式を因数分解しなさい。

(1)\(2x^2-5x-3\)
(2)\(25a^2-20ab+4b^2\)
(3)\(ax^2+(1+ab)x+b\)

因数分解の公式

【因数分解の公式】
(1)\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
(2)\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)
(3)\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
(4)\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)
(5)\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
(6)\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

【例題】次の式を因数分解しなさい。

(1)\(x^2+8x+16\)
(2)\(9x^2-24xy+16y^2\)
(3)\(4x^2-9y^2\)
(4)\(x^2+14x+24\)
(5)\(x^3+64\)
(6)\(27x^3-8y^3\)

因数分解の工夫

【例題】次の式を因数分解しなさい。

(1)\(2(x-y)^2+5(x-y)+2\)
(2)\(x^4-3x^2-4\)
(3)\((x-1)(x-2)(x+3)(x+4)-36\)
(4)\(x^2+xy+x+2y-2\)
(5)\(2x^2+5xy+3y^2+2x+y-4\)
(6)\(a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc\)
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