1-3-1 一次不等式(要点)

【不等式の性質】

1.両辺に同じ数を加えても不等号の向きは変わらない。
\(A < B\ \)ならば\(\ A+C < B+C\)
2.両辺に同じ数を引いても不等号の向きは変わらない。
\(A < B\ \)ならば\(\ A-C < B-C\)
3.両辺に同じ正の数をかけても不等号の向きは変わらない。
\(A < B,C > 0\ \)ならば\(\ AC < BC\)
4.両辺に同じ正の数を割っても不等号の向きは変わらない。
\(A < B,C > 0\ \)ならば\(\displaystyle \ \frac{A}{C} < \frac{B}{C}\)
5.両辺に同じ負の数をかけると不等号の向きは逆になる。
\(A < B,C < 0\ \)ならば\(\ AC > BC\)
6.両辺に同じ負の数を割ると不等号の向きは逆になる。
\(A < B,C < 0\ \)ならば\(\displaystyle \ \frac{A}{C} > \frac{B}{C}\)

【例題】\(a < b\)のとき、次の整式を不等号を使って表しなさい。

(1)\(a-5,b-5\)

\(a-5 < b-5\)

(2)\(4a,4b\)

\(4a < 4b\)

(3)\(\displaystyle \frac{a}{-4},\frac{b}{-4}\)

\(\displaystyle \frac{a}{-4} > \frac{b}{-4}\)

(4)\(-4a+3,-4b+3\)

\(-4a+3 > -4b+3\)

【一次不等式】

一次方程式と同じように解いて、\(x < a,x \leqq a,x > a,x \geqq a\)の形に整理する。

(1)\(x < a\)
\(x\)は\(a\)より小さい。

(2)\(x \leqq a\)
\(x\)は\(a\)以下。 (3)\(x > a\)
\(x\)は\(a\)より大きい。 (4)\(x \geqq a\)
\(x\)は\(a\)以上。

【例題】次の不等式を解きなさい。

(1)\(3x+5 < x-1\)

\begin{align} 3x-x &< -1-5 \\ 2x &< -6 \\ x &< -3 \end{align}

(2)\(\displaystyle \frac{x}{3}+\frac{1}{6} \leqq \frac{x}{2}-\frac{1}{3}\)

\begin{align} 2x+1 &\leqq 3x-2 \\ 2x-3x &\leqq -2-1 \\ -x &\leqq -3 \\ x &\geqq 3 \end{align}

【連立不等式】

(1)それぞれの不等式を解く。
(2)数直線を利用して、それぞれの不等式の共通範囲を求める。

【例題】次の連立不等式を解きなさい。

(1)\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}3x+1 \leqq 5x+7 \\ 2x+4 > 3x+4 \end{array}\right.\end{eqnarray}

\(3x+1 \leqq 5x+7\)を解くと、
\(x \geqq -3\)・・・(1)
\(2x+4 > 3x+4\)を解くと、
\(x < 0\)・・・(2)
(1)、(2)より、

【答】\(-3 \leqq x < 0\)

(2)\(-5 < 2x-3 \leqq 3\)

\(-5 < 2x-3\)を解くと、
\(x > -1\)・・・(1)
\(2x-3 \leqq 3\)を解くと、
\(x \leqq 3\)・・・(2)
(1)、(2)より、

【答】\(-1 < x \leqq 3\)