命題
【命題】
正しいか正しくないかが明確に決まる分や式を命題という。
命題が正しいときは真といい、正しくないときは偽いう。
2つの条件\(p,q\)についての命題「\(p\)ならば\(q\)」を\(p\Rightarrow q\)と表す。
\(p\)をこの命題の仮定といい、\(q\)をこの命題の結論という。
命題「\(p\Rightarrow q\)」が偽であるとき、偽であることを示す例を反例という。
【例題】次の命題の真偽を調べ、偽のときは反例を1つ示しなさい。
(1)\(x^2=4\)ならば\(x=2\)である。
偽
反例:\(x=-2\)
(2)長方形は、平行四辺形である。
真
(3)\(x > 5\)ならば\(x > 3\)である。
真
(4)\(ac=bc\)ならば\(a=b\)である。
偽
反例:\(a=2,b=3,c=0\)
必要条件と十分条件
【必要条件と十分条件】
2つの条件\(p,q\)についての命題「\(p\)ならば\(q\)」が真であるとき、
\(q\)は\(p\)であるための必要条件、
\(p\)は\(q\)であるための十分条件であるという。
命題「\(p\Rightarrow q\)」と「\(q\Rightarrow p\)」が共に真であるとき、
\(p\)は\(q\)であるための必要十分条件であるという。
このとき、\(p\)と\(q\)は同値であるといい、\(p\Leftrightarrow q\)と表す。
【例題】\(x,y,z\)を実数としたとき、次の□に当てはまるものを選びなさい。
(A)必要十分条件である。
(B)必要条件であるが十分条件ではない。
(C)十分条件であるが必要条件ではない。
(D)必要条件でも十分条件でもない。
(1)\(x=2\)は\(x^2=4\)であるための□。
(C)
(2)\(xy=0\)は\(x=0\)かつ\(y=0\)のための□。
(B)
(3)\(x=y\)は\(xz=yz\)であるための□。
(C)
(4)\(x=y\)は\((x-y)^2=0\)であるための□。
(A)