1-4-2 命題と条件(要点)

命題

【命題】

正しいか正しくないかが明確に決まる分や式を命題という。
命題が正しいときはといい、正しくないときはいう。

2つの条件\(p,q\)についての命題「\(p\)ならば\(q\)」を\(p\Rightarrow q\)と表す。
\(p\)をこの命題の仮定といい、\(q\)をこの命題の結論という。

命題「\(p\Rightarrow q\)」が偽であるとき、偽であることを示す例を反例という。


【例題】次の命題の真偽を調べ、偽のときは反例を1つ示しなさい。

(1)\(x^2=4\)ならば\(x=2\)である。

(2)長方形は、平行四辺形である。

(3)\(x > 5\)ならば\(x > 3\)である。

(4)\(ac=bc\)ならば\(a=b\)である。

必要条件と十分条件

【必要条件と十分条件】

2つの条件\(p,q\)についての命題「\(p\)ならば\(q\)」が真であるとき、
\(q\)は\(p\)であるための必要条件
\(p\)は\(q\)であるための十分条件であるという。

命題「\(p\Rightarrow q\)」と「\(q\Rightarrow p\)」が共に真であるとき、
\(p\)は\(q\)であるための必要十分条件であるという。
このとき、\(p\)と\(q\)は同値であるといい、\(p\Leftrightarrow q\)と表す。


【例題】\(x,y,z\)を実数としたとき、次の□に当てはまるものを選びなさい。
(A)必要十分条件である。
(B)必要条件であるが十分条件ではない。
(C)十分条件であるが必要条件ではない。
(D)必要条件でも十分条件でもない。

(1)\(x=2\)は\(x^2=4\)であるための□。

(2)\(xy=0\)は\(x=0\)かつ\(y=0\)のための□。

(3)\(x=y\)は\(xz=yz\)であるための□。

(4)\(x=y\)は\((x-y)^2=0\)であるための□。

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1-2 数

1-3 一次不等式

1-4 集合と命題

2章 二次関数

2-1 関数とグラフ

2-2 二次関数の最大・最小

2-3 二次関数と方程式

2-4 二次関数と不等式

3章 図形と計量

3-1 鋭角の三角比

3-2 鈍角の三角比

3-3 正弦定理と余弦定理

3-4 図形の計量

4章 データの分析

4-1 統計資料の整理

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