【高校数学Ⅰ】1-4-2 命題と条件｜要点まとめ

このページでは、高校数学Ⅰの「命題と条件」について要点を整理しています。命題の真偽の考え方や、必要条件と十分条件の判断方法を例付きで解説。基礎から応用まで幅広く学べるため、家庭学習や定期テスト対策に最適です。

命題の基本と真偽の判断

【命題】
正しいか正しくないかが明確に決まる分や式を命題という。命題が正しいときは真といい、正しくないときは偽いう。
\(2\)つの条件\(p,q\)についての命題「\(p\)ならば\(q\)」を\(p\Rightarrow q\)と表す。\(p\)をこの命題の仮定といい、\(q\)をこの命題の結論という。
命題「\(p\Rightarrow q\)」が偽であるとき、偽であることを示す例を反例という。

【例題】次の命題の真偽を調べ、偽のときは反例を\(1\)つ示しなさい。

(1)\(x^2=4\)ならば\(x=2\)である。
(2)長方形は、平行四辺形である。
(3)\(x> 5\)ならば\(x> 3\)である。
(4)\(ac=bc\)ならば\(a=b\)である。

必要条件と十分条件の見分け方

【必要条件と十分条件】
\(2\)つの条件\(p,q\)についての命題「\(p\)ならば\(q\)」が真であるとき、\(q\)は\(p\)であるための必要条件、\(p\)は\(q\)であるための十分条件であるという。
命題「\(p\Rightarrow q\)」と「\(q\Rightarrow p\)」が共に真であるとき、\(p\)は\(q\)であるための必要十分条件であるという。このとき、\(p\)と\(q\)は同値であるといい、\(p\Leftrightarrow q\)と表す。

【例題】\(x,y,z\)を実数としたとき、次の□に当てはまるものを選びなさい。
(A)必要十分条件である。
(B)必要条件であるが十分条件ではない。
(C)十分条件であるが必要条件ではない。
(D)必要条件でも十分条件でもない。

(1)\(x=2\)は\(x^2=4\)であるための□
(2)\(xy=0\)は\(x=0\)かつ\(y=0\)のための□
(3)\(x=y\)は\(xz=yz\)であるための□
(4)\(x=y\)は\((x-y)^2=0\)であるための□
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