1-4-3 命題と証明(要点)

条件の否定

【条件の否定】

条件「\(p\)でない」という条件を\(p\)の否定といい、\(\overline{p}\)と表す。

また、ド・モルガンの法則より、
(1)\(\overline{pかつq} \Leftrightarrow \overline{p}または\overline{q}\)
(2)\(\overline{pまたはq} \Leftrightarrow \overline{p}かつ\overline{q}\)
が成り立つ。


【例題】\(x,y\)を実数としたとき、次の条件の否定を答えなさい。

(1)\(x\)は有理数である。

(2)\(x<0\)

(3)\(x=1\)かつ\(y=2\)

(4)\(x,y\)の少なくとも一方は偶数である。

逆・裏・対偶

【逆・裏・対偶】

命題「\(p\Rightarrow q\)」に対して、
命題「\(q\Rightarrow p\)」を
命題「\(\overline{p}\Rightarrow \overline{q}\)」を
命題「\(\overline{q}\Rightarrow \overline{p}\)」を対偶という。

対偶 pq qp p__q__ q__p__

逆・裏・対偶について、次のことが成り立つ。
(1)命題が真であっても、その逆や裏は真であるとは限らない。
(2)命題の真偽と、その対偶の真偽は一致する。


【例題】\(x,y\)を実数としたとき、次の命題の逆の真偽を調べ、偽のときは反例を1つ示しなさい。

(1)\(x=y\)ならば\(x^2=y^2\)である。

(2)\(x=2,y=3\)ならば\(xy=6\)である。


【例題】\(x,y\)を実数としたとき、次の命題の対偶の真偽を調べ、偽のときは反例を1つ示しなさい。

(1)\(x=y\)ならば\(x^2=y^2\)である。

(2)\(x=2,y=3\)ならば\(xy=6\)である。

証明

対偶法

【対偶法】

命題「\(p\Rightarrow q\)」を証明したいとき、その対偶「\(\overline{q}\Rightarrow \overline{p}\)」を証明してもよい。
このような証明法を対偶法という。


【例題】\(n\)を整数としたとき、次の命題が真であることを証明しなさい。

\(n^2\)が奇数ならば、\(n\)は奇数である。

背理法

【背理法】

命題が成り立たないと仮定して推論し矛盾することを導き、元の命題が真であることを証明してもよい。
このような証明法を背理法という。


【例題】\(\sqrt{2}\)が無理数であることを用いて、次の命題を証明しなさい。

\(1+\sqrt{2}\)は無理数である。

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1-4 集合と命題

2章 二次関数

2-1 関数とグラフ

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2-3 二次関数と方程式

2-4 二次関数と不等式

3章 図形と計量

3-1 鋭角の三角比

3-2 鈍角の三角比

3-3 正弦定理と余弦定理

3-4 図形の計量

4章 データの分析

4-1 統計資料の整理

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