【高校数学Ⅰ】1-4-3 命題と証明｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅰ「命題と証明」の要点を整理しています。条件の否定や命題の変形（逆・裏・対偶）の考え方を確認し、さらに代表的な証明方法である「対偶法」と「背理法」について学習します。
条件の否定
【条件の否定】
条件「\(p\)でない」という条件を\(p\)の否定といい、\(\overline{p}\)と表す。
また、ド・モルガンの法則より、
(1)\(\overline{pかつq} \Leftrightarrow \overline{p}または\overline{q}\)
(2)\(\overline{pまたはq} \Leftrightarrow \overline{p}かつ\overline{q}\)
が成り立つ。
【例題】\(x,y\)を実数としたとき、次の条件の否定を答えなさい。
命題の変形：逆・裏・対偶
【逆・裏・対偶】
命題「\(p\Rightarrow q\)」に対して、
命題「\(q\Rightarrow p\)」を逆、
命題「\(\overline{p}\Rightarrow \overline{q}\)」を裏、
命題「\(\overline{q}\Rightarrow \overline{p}\)」を対偶という。
逆・裏・対偶について、次のことが成り立つ。
(1)命題が真であっても、その逆や裏は真であるとは限らない。
(2)命題の真偽と、その対偶の真偽は一致する。
【例題】\(x,y\)を実数としたとき、次の命題の逆の真偽を調べ、偽のときは反例を\(1\)つ示しなさい。
反例\(:x=2,y=-2\)
反例\(:x=-2,y=-3\)
【例題】\(x,y\)を実数としたとき、次の命題の対偶の真偽を調べ、偽のときは反例を\(1\)つ示しなさい。
証明の方法
対偶法
【対偶法】
命題「\(p\Rightarrow q\)」を証明したいとき、その対偶「\(\overline{q}\Rightarrow \overline{p}\)」を証明してもよい。このような証明法を対偶法という。
【例題】\(n\)を整数としたとき、次の命題が真であることを証明しなさい。
\(n\)が偶数ならば、\(n^2\)は偶数である。
\(n\)が偶数なので、\(k\)を整数とすると、
\(n=2k\)
\(n^2=(2k)^2=4k^2=2・2k^2\)
\(2k^2\)は整数なので、\(n^2\)は偶数である。
よって、対偶が真であるので、命題は真である。
背理法
【背理法】
命題が成り立たないと仮定して推論し矛盾することを導き、元の命題が真であることを証明してもよい。このような証明法を背理法という。
【例題】\(\sqrt{2}\)が無理数であることを用いて、次の命題を証明しなさい。
\(1+\sqrt{2}\)は有理数となる。
\(1+\sqrt{2}=r\)とおくと、\(\sqrt{2}=r-1\)
\(r\)が有理数ならば、\(r-1\)も有理数であるので、
この等式は\(\sqrt{2}\)が無理数であることに矛盾する。
よって、\(1+\sqrt{2}\)は無理数である。