【高校数学Ⅰ】2-1-2 二次関数のグラフ｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅰの「二次関数のグラフ」について要点をまとめています。放物線の基本形から、平方完成を使った頂点・軸の求め方、平行移動によるグラフの変化までを体系的に解説。\(y=ax^2,\)\(y=ax^2+q,\)\(y=a(x-p)^2,\)\(y=a(x-p)^2+q,\)\(y=ax^2+bx+c\)の各形ごとの特徴を整理しているので、基礎理解やテスト対策に最適です。
\(y=ax^2\)のグラフ（放物線の基本形）
【\(y=ax^2\)のグラフ】
\(y=ax^2\)のように\(x\)の二次式で表されるとき、\(y\)は\(x\)の二次関数であるという。
二次関数のグラフは放物線と呼ばれる曲線で、放物線の対称軸を軸といい、軸と放物線の交点を頂点という。
二次関数\(y=ax^2\)のグラフは放物線で、頂点は原点\((0,0)\)、軸は\(y\)軸。\(a>0\)のとき下に凸、\(a<0\)のとき上に凸。
【例題】次の二次関数のグラフをかきなさい。
\(y=ax^2+q\)のグラフ（y軸方向の平行移動）
【\(y=ax^2+q\)のグラフ】
\(y=ax^2+q\)のグラフは\(y=ax^2\)のグラフを\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動した放物線になる。
二次関数\(y=ax^2+q\)のグラフは放物線で、頂点は\((0,q)\)、軸は\(y\)軸。\(a>0\)のとき下に凸、\(a<0\)のとき上に凸。
【例題】次の二次関数のグラフをかきなさい。
\(y=a(x-p)^2\)のグラフ（x軸方向の平行移動）
【\(y=a(x-p)^2\)のグラフ】
\(y=a(x-p)^2\)のグラフは\(y=ax^2\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)だけ平行移動した放物線になる。
二次関数\(y=a(x-p)^2\)のグラフは放物線で、頂点は\((p,0)\)、軸は\(x=p\)の直線。\(a>0\)のとき下に凸、\(a<0\)のとき上に凸。
【例題】次の二次関数のグラフをかきなさい。
\(y=a(x-p)^2+q\)のグラフ（平行移動の一般形）
【\(y=a(x-p)^2+q\)のグラフ】
\(y=a(x-p)^2+q\)のグラフは\(y=ax^2\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動した放物線になる。
二次関数\(y=a(x-p)^2+q\)のグラフは放物線で、頂点は\((p,q)\)、軸は\(x=p\)の直線。\(a>0\)のとき下に凸、\(a<0\)のとき上に凸。
【例題】次の二次関数のグラフをかきなさい。
\(y=ax^2+bx+c\)のグラフ（平方完成による変形）
【\(y=ax^2+bx+c\)のグラフ】
\(y=ax^2+bx+c\)のグラフは\(y=a(x-p)^2+q\)のように変形することができる。この変形を平方完成という。
二次関数\(y=ax^2+bx+c\)のグラフは放物線で、頂点は\(\displaystyle \left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2}{4a}+c\right)\)、軸は\(\displaystyle x=-\frac{b}{2a}\)の直線。\(a>0\)のとき下に凸、\(a<0\)のとき上に凸。
【例題】次の二次関数のグラフをかきなさい。
\(=2(x^2+2x)+1\)
\(=2(x^2+2x+1-1)+1\)
\(=2((x+1)^2-1)+1\)
\(=2(x+1)^2-1\)
\(\displaystyle =x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}+1\)
\(\displaystyle =\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\)