【高校数学Ⅰ】2-1-3 グラフの移動｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅰの「二次関数のグラフ移動」について解説しています。平行移動と対称移動の基礎を整理し、グラフの形や位置がどのように変わるかを理解できるようにまとめています。図や例題を通して、定期テストや入試の対策にも役立つ内容です。
二次関数の平行移動の解法
【二次関数の平行移動】
\(y=f(x)\)のグラフを\(x\)軸方向に\(a\)、\(y\)軸方向に\(b\)だけ平行移動したグラフは、\(y-b=f(x-a)\)
【例題】次の問いに答えなさい。
(1)\(y=2x^2-5x+1\)のグラフを\(x\)軸方向に\(1\)、\(y\)軸方向に\(-3\)だけ平行移動したグラフを求めなさい。
\(y=2x^2-5x+1\)
\(x\)軸方向に\(1\)、\(y\)軸方向に\(-3\)だけ平行移動するので、
\(x=x-1,y=y-(-3)\)に置き換える。
\(y-(-3)=2(x-1)^2-5(x-1)+1\)
\(y+3=2x^2-4x+2-5x+5+1\)
\(y=2x^2-9x+5\)
\(x\)軸方向に\(1\)、\(y\)軸方向に\(-3\)だけ平行移動するので、
\(x=x-1,y=y-(-3)\)に置き換える。
\(y-(-3)=2(x-1)^2-5(x-1)+1\)
\(y+3=2x^2-4x+2-5x+5+1\)
\(y=2x^2-9x+5\)
(2)\(y=2x^2+4x-1\)は\(y=2x^2-4x\)をどのように平行移動すればよいか求めなさい。
\(y=2x^2-4x\)の頂点は
\(y=2x^2-4x\)
\(y=2(x^2-2x)\)
\(y=2(x^2-2x+1-1)\)
\(y=2(x-1)^2-2\)
頂点:\((1,-2)\)
\(y=2x^2+4x-1\)の頂点は
\(y=2x^2+4x-1\)
\(y=2(x^2+2x)-1\)
\(y=2(x^2+2x+1-1)-1\)
\(y=2(x+1)^2-3\)
頂点:\((-1,-3)\)
よって、
\(x\)軸方向に\(-2\)、\(y\)軸方向に\(-1\)
\(y=2x^2-4x\)
\(y=2(x^2-2x)\)
\(y=2(x^2-2x+1-1)\)
\(y=2(x-1)^2-2\)
頂点:\((1,-2)\)
\(y=2x^2+4x-1\)の頂点は
\(y=2x^2+4x-1\)
\(y=2(x^2+2x)-1\)
\(y=2(x^2+2x+1-1)-1\)
\(y=2(x+1)^2-3\)
頂点:\((-1,-3)\)
よって、
\(x\)軸方向に\(-2\)、\(y\)軸方向に\(-1\)
二次関数の対称移動の解法
【二次関数の対称移動】
\(y=f(x)\)のグラフを
\(x\)軸に関して対称移動したグラフは、\(y=-f(x)\)
\(y\)軸に関して対称移動したグラフは、\(y=f(-x)\)
原点に関して対称移動したグラフは、\(y=-f(-x)\)
点\((p,q)\)に関して対称移動したグラフは、\(2q-y=f(2p-x)\)
【例題】\(y=2x^2-5x+1\)のグラフを次のように移動したグラフを求めなさい。
(1)\(x\)軸に関して対称移動
\(y=-(2x^2-5x+1)\)
\(y=-2x^2+5x-1\)
\(y=-2x^2+5x-1\)
(2)\(y\)軸に関して対称移動
\(y=2(-x)^2-5×(-x)+1\)
\(y=2x^2+5x+1\)
\(y=2x^2+5x+1\)
(3)原点に関して対称移動
\(y=-\{2(-x)^2-5×(-x)+1\}\)
\(y=-2x^2-5x-1\)
\(y=-2x^2-5x-1\)
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