【高校数学Ⅰ】2-2-1 二次関数の最大・最小｜問題集

\(=-2(x-2)^2+5\)
頂点:\((2,5)\)
よって、
最大値:\(5\ (x=2)\)
最小値:なし

\(\displaystyle =\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\)
頂点:\(\displaystyle \left(\frac{3}{2},-\frac{5}{4}\right)\)
よって、
最大値:なし
最小値:\(\displaystyle -\frac{5}{4}\ \left(x=-\frac{3}{2}\right)\)

\(\displaystyle =-2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{25}{8}\)
頂点:\(\displaystyle \left(\frac{5}{4},\frac{25}{8}\right)\)
よって、
最大値:\(\displaystyle \frac{25}{8}\ \left(x=\frac{5}{4}\right)\)
最小値:なし

\(=(x+2)^2-4\)
頂点:\((-2,-4)\)
よって、
最大値:なし
最小値:\(-4\ (x=-2)\)

\(\displaystyle =-2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{2}\)
頂点:\(\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)\)
よって、
最大値:\(\displaystyle \frac{3}{2}\ \left(x=\frac{1}{2}\right)\)
最小値:なし

\(y=x^2+2x+3\)を平方完成すると、
\(y=(x+1)^2+2\)

よって、
最大値:\(11\ (x=2)\)
最小値:\(2\ (x=-1)\)

\(y=-x^2+4x-3\)を平方完成すると、
\(y=-(x-2)^2+1\)

よって、
最大値:\(1\ (x=2)\)
最小値:なし

\(y=3x^2+6x-1\)を平方完成すると、
\(y=3(x+1)^2-4\)

よって、
最大値:\(44\ (x=3)\)
最小値:\(8\ (x=1)\)

\(y=-2x^2+12x\)を平方完成すると、
\(y=-2(x-3)^2+18\)

よって、
最大値:\(18\ (x=3)\)
最小値:\(0\ (x=0,6)\)

\(y=x^2-2x-1\)を平方完成すると、
\(y=(x-1)^2-2\)

よって、
最大値:\(2\ (x=3)\)
最小値:\(-2\ (x=1)\)

\(y=x^2+x+2\)を平方完成すると、
\(\displaystyle y=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\)
よって、
最大値:\(4\ (x=1)\)
最小値:\(\displaystyle \frac{7}{4}\ \left(x=-\frac{1}{2}\right)\)

直角をはさむ\(1\)辺の長さを\(x\)とすると、定義域は\(0< x<12\)。
そのとき、他の\(1\)辺の長さは\(12-x\)となる。
三角形の面積を\(y\)とすると、
\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x(12-x)\)
平方完成すると、
\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}(x-6)^2+18\)

\(y\)は\(x=6\)のとき、最大値\(18\)をとる。
よって、面積が最大となるのは、\(2\)辺の長さがそれぞれ\(6\)である直角二等辺三角形のときである。