1.次の二次関数の最大値、最小値を求めなさい。
(1)\(y=-2x^2+8x-3\)
\begin{align}
y &= -2x^2+8x-3 \\
&= -2(x-2)^2+5
\end{align}
頂点:\((2,5)\)
よって、
最大値:\(5\ (x=2)\)
最小値:なし
(2)\(y=x^2+3x+1\)
\begin{align}
y &= x^2+3x+1 \\
&= \left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{5}{4}
\end{align}
頂点:\(\displaystyle \left(\frac{3}{2},-\frac{5}{4}\right)\)
よって、
最大値:なし
最小値:\(\displaystyle -\frac{5}{4}\ \left(x=-\frac{3}{2}\right)\)
(3)\(y=-2x^2+5x\)
\begin{align}
y &= -2x^2+5x \\
&= -2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{25}{8}
\end{align}
頂点:\(\displaystyle \left(\frac{5}{4},\frac{25}{8}\right)\)
よって、
最大値:\(\displaystyle \frac{25}{8}\ \left(x=\frac{5}{4}\right)\)
最小値:なし
(4)\(y=x^2+4x\)
\begin{align}
y &= x^2+4x \\
&= (x+2)^2-4
\end{align}
頂点:\((-2,-4)\)
よって、
最大値:なし
最小値:\(-4\ (x=-2)\)
(5)\(y=-2x^2+2x+1\)
\begin{align}
y &= -2x^2+2x+1 \\
&= -2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{2}
\end{align}
頂点:\(\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)\)
よって、
最大値:\(\displaystyle \frac{3}{2}\ \left(x=\frac{1}{2}\right)\)
最小値:なし
2.次の二次関数の定義域で最大値、最小値を求めなさい。
(1)\(y=x^2+2x+3\ (-2\leqq x\leqq 2)\)
\(y=x^2+2x+3\)を平方完成すると、
\(y=(x+1)^2+2\)
よって、
最大値:\(11\ (x=2)\)
最小値:\(2\ (x=-1)\)
(2)\(y=-x^2+4x-3\ (0< x\leqq 3)\)
\(y=-x^2+4x-3\)を平方完成すると、
\(y=-(x-2)^2+1\)
よって、
最大値:\(1\ (x=2)\)
最小値:なし
(3)\(y=3x^2+6x-1\ (1\leqq x\leqq 3)\)
\(y=3x^2+6x-1\)を平方完成すると、
\(y=3(x+1)^2-4\)
よって、
最大値:\(44\ (x=3)\)
最小値:\(8\ (x=1)\)
(4)\(y=-2x^2+12x\ (0\leqq x\leqq 6)\)
\(y=-2x^2+12x\)を平方完成すると、
\(y=-2(x-3)^2+18\)
よって、
最大値:\(18\ (x=3)\)
最小値:\(0\ (x=0,6)\)
(5)\(y=x^2-2x-1\ (0\leqq x\leqq 3)\)
\(y=x^2-2x-1\)を平方完成すると、
\(y=(x-1)^2-2\)
よって、
最大値:\(2\ (x=3)\)
最小値:\(-2\ (x=1)\)
(6)\(y=x^2+x+2\ (-1\leqq x\leqq 1)\)
\(y=x^2+x+2\)を平方完成すると、
\(\displaystyle y=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\)
よって、
最大値:\(4\ (x=1)\)
最小値:\(\displaystyle \frac{7}{4}\ \left(x=-\frac{1}{2}\right)\)
3.直角をはさむ2辺の長さの和が\(12\)の直角三角形がある。この面積の最大値を求めなさい。
直角をはさむ1辺の長さを\(x\)とすると、定義域は\(0< x <12\)。
そのとき、他の1辺の長さは\(12-x\)となる。
三角形の面積を\(y\)とすると、
\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x(12-x)\)
平方完成すると、
\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}(x-6)^2+18\)
\(y\)は\(x=6\)のとき、最大値\(18\)をとる。
よって、面積が最大となるのは、2辺の長さがそれぞれ\(6\)である直角二等辺三角形のときである。