【高校数学Ⅰ】2-2-1 二次関数の最大・最小｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅰの「二次関数の最大・最小」について解説しています。平方完成を使った解法や、定義域がある場合の扱い方を整理し、問題を解く手順を理解できるようにまとめています。例題を交えて学習できるので、定期テストや入試の基礎固めに役立つ内容です。
二次関数の最大値と最小値の求め方
【二次関数の最大・最小】
二次関数\(y=a(x-p)^2+q\)は
\(a>0\)のとき、\(x=p\)で最小値\(q\)をとり、最大値はない。
\(a<0\)のとき、\(x=p\)で最大値\(q\)をとり、最小値はない。
【例題】次の二次関数の最大値、最小値を求めなさい。
(1)\(y=2x^2+4x-1\)
\(y=2x^2+4x-1\)
\(=2(x+1)^2-3\)
頂点:\((-1,-3)\)
よって、
最大値:なし
最小値:\(-3\ (x=-1)\)
\(=2(x+1)^2-3\)
頂点:\((-1,-3)\)
よって、
最大値:なし
最小値:\(-3\ (x=-1)\)
(2)\(y=-3x^2+9x\)
\(y=-3(x^2-3x)\)
\(\displaystyle =-3\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{27}{4}\)
頂点:\(\displaystyle \left(\frac{3}{2},\frac{27}{4}\right)\)
よって、
最大値:\(\displaystyle \frac{27}{4}\ \left(x=\frac{3}{2}\right)\)
最小値:なし
\(\displaystyle =-3\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{27}{4}\)
頂点:\(\displaystyle \left(\frac{3}{2},\frac{27}{4}\right)\)
よって、
最大値:\(\displaystyle \frac{27}{4}\ \left(x=\frac{3}{2}\right)\)
最小値:なし
定義域の制約がある場合の最大・最小
【二次関数の定義域がある最大・最小】
定義域に制限がある二次関数は、頂点の\(x\)座標が定義域に含まれているか注目して、頂点の\(y\)座標と定義域の両端での\(y\)座標を調べる。
【例題】\(y=-x^2+4x+5\)の定義域として、次の範囲をとるとき、最大値と最小値を求めなさい。
(1)\(-2\leqq x\leqq 1\)
\(y=-x^2+4x+5\)を平方完成すると、
\(y=-(x-2)^2+9\)
よって、
最大値:\(8\ (x=1)\)
最小値:\(-7\ (x=-2)\)
\(y=-(x-2)^2+9\)
よって、
最大値:\(8\ (x=1)\)
最小値:\(-7\ (x=-2)\)
(2)\(1\leqq x\leqq 4\)
\(y=-x^2+4x+5\)を平方完成すると、
\(y=-(x-2)^2+9\)
よって、
最大値:\(9\ (x=2)\)
最小値:\(5\ (x=4)\)
\(y=-(x-2)^2+9\)
よって、
最大値:\(9\ (x=2)\)
最小値:\(5\ (x=4)\)
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