【高校数学Ⅰ】2-2-2 二次関数の決定｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅰの「二次関数の決定」について解説しています。頂点・軸・x軸の交点・3点・最大最小など与えられた条件から二次関数を求める方法を整理。三元一次方程式の利用も含め、例題を通して解き方をわかりやすくまとめています。
頂点を使った二次関数の決定方法
【頂点から二次関数の決定】
頂点\((p,q)\)のとき、\(y=a(x-p)^2+q\)
【例題】頂点が\((1,1)\)で、\((2,2)\)を通る二次関数を求めなさい。
頂点が\((1,1)\)なので、求める二次関数を\(y=a(x-1)^2+1\)とおく。
\((2,2)\)を通るので、代入すると
\(2=a(2-1)^2+1\)
\(a=1\)
よって、
\(y=(x-1)^2+1\)
\((2,2)\)を通るので、代入すると
\(2=a(2-1)^2+1\)
\(a=1\)
よって、
\(y=(x-1)^2+1\)
軸を使った二次関数の決定方法
【軸から二次関数の決定】
軸が\(x=p\)のとき、\(y=a(x-p)^2+q\)
【例題】軸が\(x=2\)で、\((-1,5),(1,-11)\)を通る二次関数を求めなさい。
軸が\(x=2\)なので、求める二次関数を\(y=a(x-2)^2+q\)とおく。
\((-1,5),(1,-11)\)を通るので、代入すると
\(\left\{\begin{array}{l}5=a(-1-2)^2+q \\ -11=a(1-2)^2+q\end{array}\right.\)
これを解くと、\(a=2,q=-13\)
よって、
\(y=2(x-2)^2-13\)
\((-1,5),(1,-11)\)を通るので、代入すると
\(\left\{\begin{array}{l}5=a(-1-2)^2+q \\ -11=a(1-2)^2+q\end{array}\right.\)
これを解くと、\(a=2,q=-13\)
よって、
\(y=2(x-2)^2-13\)
\(x\)軸との交点を使った二次関数の決定方法
【\(x\)軸から二次関数の決定】
\(x\)軸との交点が\((\alpha,0),(\beta,0)\)のとき、\(y=a(x-\alpha)(x-\beta)\)
【例題】\(x\)軸との交点が\((1,0),(2,0)\)で、\((0,2)\)を通る二次関数を求めなさい。
\(x\)軸との交点が\((1,0),(2,0)\)なので、求める二次関数を\(y=a(x-1)(x-2)\)とおく。
\((0,2)\)を通るので、代入すると
\(2=a(-1)(-2)\)
\(a=1\)
よって、
\(y=(x-1)(x-2)\)
\((0,2)\)を通るので、代入すると
\(2=a(-1)(-2)\)
\(a=1\)
よって、
\(y=(x-1)(x-2)\)
3点を通る二次関数の決定方法
【3点から二次関数の決定】
3点のとき、\(y=ax^2+bx+c\)
【例題】\((1,0),(2,3),(3,8)\)を通る二次関数を求めなさい。
求める二次関数を\(y=ax^2+bx+c\)とおく。
\((1,0),(2,3),(3,8)\)を通るので、代入すると
\(\left\{\begin{array}{l}0=a+b+c \\ 3=4a+2b+c \\ 8=9a+3b+c\end{array}\right.\)
これを解くと、\(a=1,b=0,c=-1\)
よって、
\(y=x^2-1\)
\((1,0),(2,3),(3,8)\)を通るので、代入すると
\(\left\{\begin{array}{l}0=a+b+c \\ 3=4a+2b+c \\ 8=9a+3b+c\end{array}\right.\)
これを解くと、\(a=1,b=0,c=-1\)
よって、
\(y=x^2-1\)
三元一次方程式を使った解き方
【例題】次の連立方程式を解きなさい。
(1)\(\left\{\begin{array}{l}a+b+c=0・・・(1) \\ 4a+2b+c=3・・・(2)\\ 9a+3b+c=8・・・(3)\end{array}\right.\)
\((2)-(1)\)より、\(3a+b=3\)・・・(4)
\((3)-(2)\)より、\(5a+b=5\)・・・(5)
\((5)-(4)\)より、\(2a=2\)
よって、\(a=1\)
(4)に代入して、\(b=0\)
(1)に代入して、\(c=-1\)
よって、\(a=1,b=0,c=-1\)
\((3)-(2)\)より、\(5a+b=5\)・・・(5)
\((5)-(4)\)より、\(2a=2\)
よって、\(a=1\)
(4)に代入して、\(b=0\)
(1)に代入して、\(c=-1\)
よって、\(a=1,b=0,c=-1\)
(2)\(\left\{\begin{array}{l}x+y=5・・・(1) \\ y+z=1・・・(2)\\ z+x=-2・・・(3)\end{array}\right.\)
\((1)+(2)+(3)\)より、\(2(x+y+z)=4\)・・・(4)
(1)を(4)に代入して、\(z=-3\)
(2)を(4)に代入して、\(x=1\)
(3)を(4)に代入して、\(y=4\)
よって、\(x=1,y=4,z=-3\)
(1)を(4)に代入して、\(z=-3\)
(2)を(4)に代入して、\(x=1\)
(3)を(4)に代入して、\(y=4\)
よって、\(x=1,y=4,z=-3\)
最大値・最小値を使った二次関数の決定方法
【例題】\(y=2x^2-4x+c\ (-1\leqq x\leqq 2)\)の最大値が\(5\)であるとき、\(c\)を求めなさい。また、最小値も求めなさい。
\(y=2x^2-4x+c\)を平方完成すると、
\(y=2(x-1)^2-2+c\)
頂点は\((1,-2+c)\)となる。
最大値は軸\(x=1\)から最も離れた点で最大値をとるので、\(x=-1\)のとき、最大値\(5\)をとる。
\(5=2×(-1)^2-4×(-1)+c\)
\(c=-1\)
最小値は頂点をとったときなので、
最小値:\(-3\ (x=1\)のとき\()\)
\(y=2(x-1)^2-2+c\)
頂点は\((1,-2+c)\)となる。
最大値は軸\(x=1\)から最も離れた点で最大値をとるので、\(x=-1\)のとき、最大値\(5\)をとる。
\(5=2×(-1)^2-4×(-1)+c\)
\(c=-1\)
最小値は頂点をとったときなので、
最小値:\(-3\ (x=1\)のとき\()\)
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