【高校数学Ⅰ】2-3-1 二次方程式｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅰの「二次方程式」について解説しています。解の公式の使い方、判別式と解の個数の関係を整理し、例題を通して理解を深められるようにまとめています。基礎からテスト対策まで役立つ内容です。
二次方程式の解と解の公式
【二次方程式の解】
(1)二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の左辺が因数分解できる場合は、因数分解して解を求める。
(2)因数分解できない場合は、解の公式を使って解を求める。
\(\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
【例題】次の二次方程式を解きなさい。
(1)\(x^2-3x=0\)
\(x(x-3)=0\)
\(x=0,3\)
\(x=0,3\)
(2)\(x^2+4x+3=0\)
\((x+1)(x+3)=0\)
\(x=-1,-3\)
\(x=-1,-3\)
(3)\(4x^2-9=0\)
\((2x+3)(2x-3)=0\)
\(\displaystyle x=-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)
\(\displaystyle x=-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)
(4)\(2x^2+3x+1=0\)
\((x+1)(2x+1)=0\)
\(\displaystyle x=-1,-\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle x=-1,-\frac{1}{2}\)
(5)\(x^2+5x-3=0\)
\(\displaystyle x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4×1×(-3)}}{2×1}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{-5\pm\sqrt{37}}{2}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{-5\pm\sqrt{37}}{2}\)
(6)\(x^2+4x-9=0\)
\(\displaystyle x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4×1×(-9)}}{2×1}\)
\(\ \ =-2\pm\sqrt{13}\)
\(\ \ =-2\pm\sqrt{13}\)
解の個数と判別式
【解の個数と判別式】
二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の実数解の個数は、\(b^2-4ac\)の符号によって判別できる。この\(b^2-4ac\)を二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の判別式といい、\(D\)で表す。
(1)\(b^2-4ac > 0\)のとき、異なる2個の実数解をもつ。
(2)\(b^2-4ac = 0\)のとき、1個の実数解(重解)をもつ。
(3)\(b^2-4ac < 0\)のとき、実数解をもたない。
【例題】次の二次方程式の実数解の個数を求めなさい。
(1)\(x^2-5x+2=0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-5)^2-4×1×2\)
\(\ \ \ =17\)
よって、実数解は\(2\)個
\(\ \ \ =(-5)^2-4×1×2\)
\(\ \ \ =17\)
よって、実数解は\(2\)個
(2)\(3x^2-5x+3=0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-5)^2-4×3×3\)
\(\ \ \ =-9\)
よって、実数解は\(0\)個
\(\ \ \ =(-5)^2-4×3×3\)
\(\ \ \ =-9\)
よって、実数解は\(0\)個
(3)\(2x^2+4x+1=0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =4^2-4×2×1\)
\(\ \ \ =8\)
よって、実数解は\(2\)個
\(\ \ \ =4^2-4×2×1\)
\(\ \ \ =8\)
よって、実数解は\(2\)個
(4)\(3x^2-2\sqrt{6}x+2=0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-2\sqrt{6})^2-4×3×2\)
\(\ \ \ =0\)
よって、実数解は\(1\)個
\(\ \ \ =(-2\sqrt{6})^2-4×3×2\)
\(\ \ \ =0\)
よって、実数解は\(1\)個
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