【高校数学Ⅰ】2-3-2 二次関数とx軸の共有点｜問題集
1.次の二次関数のグラフと\(x\)軸の共有点の座標を求めなさい。
(1)\(y=x^2-2x-3\)
\(x^2-2x-3=0\)
\((x+1)(x-3)=0\)
\(x=-1,3\)
よって、共有点の座標は
\((-1,0),(3,0)\)
\((x+1)(x-3)=0\)
\(x=-1,3\)
よって、共有点の座標は
\((-1,0),(3,0)\)
(2)\(y=-x^2+3x-1\)
\(x^2-3x+1=0\)
\(\displaystyle x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4×1×1}}{2×1}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)
よって、共有点の座標は
\(\displaystyle \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},0\right),\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2},0\right)\)
\(\displaystyle x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4×1×1}}{2×1}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)
よって、共有点の座標は
\(\displaystyle \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},0\right),\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2},0\right)\)
(3)\(y=-x^2+7x+8\)
\(x^2-7x-8=0\)
\((x+1)(x-8)=0\)
\(x=-1,8\)
よって、共有点の座標は
\((-1,0),(8,0)\)
\((x+1)(x-8)=0\)
\(x=-1,8\)
よって、共有点の座標は
\((-1,0),(8,0)\)
(4)\(y=2x^2+4x+2\)
\(2x^2+4x+2=0\)
\(2(x+1)^2=0\)
\(x=-1\)
よって、共有点の座標は
\((-1,0)\)
\(2(x+1)^2=0\)
\(x=-1\)
よって、共有点の座標は
\((-1,0)\)
(5)\(y=x^2-x-6\)
\(x^2-x-6=0\)
\((x+2)(x-3)=0\)
\(x=-2,3\)
よって、共有点の座標は
\((-2,0),(3,0)\)
\((x+2)(x-3)=0\)
\(x=-2,3\)
よって、共有点の座標は
\((-2,0),(3,0)\)
(6)\(y=2x^2-5x-3\)
\(2x^2-5x-3=0\)
\((2x+1)(x-3)=0\)
\(\displaystyle x=-\frac{1}{2},3\)
よって、共有点の座標は
\(\displaystyle \left(-\frac{1}{2},0\right),(3,0)\)
\((2x+1)(x-3)=0\)
\(\displaystyle x=-\frac{1}{2},3\)
よって、共有点の座標は
\(\displaystyle \left(-\frac{1}{2},0\right),(3,0)\)
2.次の二次関数のグラフが\(x\)軸から切り取る線分の長さを求めなさい。
(1)\(y=3x^2+4x-7\)
\(3x^2+4x-7=0\)
\((3x+7)(x-1)=0\)
\(\displaystyle x=-\frac{7}{3},1\)
よって、
\(\displaystyle 1-\left(-\frac{7}{3}\right)=\frac{10}{3}\)
\((3x+7)(x-1)=0\)
\(\displaystyle x=-\frac{7}{3},1\)
よって、
\(\displaystyle 1-\left(-\frac{7}{3}\right)=\frac{10}{3}\)
(2)\(y=x^2+2x-1\)
\(x^2+2x-1=0\)
\(\displaystyle x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4×1×(-1)}}{2×1}\)
\(\ \ =-1\pm\sqrt{2}\)
よって、
\((-1+\sqrt{2})-(-1-\sqrt{2})=2\sqrt{2}\)
\(\displaystyle x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4×1×(-1)}}{2×1}\)
\(\ \ =-1\pm\sqrt{2}\)
よって、
\((-1+\sqrt{2})-(-1-\sqrt{2})=2\sqrt{2}\)
3.次の二次関数のグラフと\(x\)軸の共有点の個数を求めなさい。
(1)\(y=x^2+3x+3\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =3^2-4×1×3\)
\(\ \ \ =-3\)
よって、共有点は\(0\)個
\(\ \ \ =3^2-4×1×3\)
\(\ \ \ =-3\)
よって、共有点は\(0\)個
(2)\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-2x+2\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\displaystyle \ \ \ =(-2)^2-4×\frac{1}{2}×2\)
\(\ \ \ =0\)
よって、共有点は\(1\)個
\(\displaystyle \ \ \ =(-2)^2-4×\frac{1}{2}×2\)
\(\ \ \ =0\)
よって、共有点は\(1\)個
(3)\(y=2x^2-x+3\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-1)^2-4×2×3\)
\(\ \ \ =-23\)
よって、共有点は\(0\)個
\(\ \ \ =(-1)^2-4×2×3\)
\(\ \ \ =-23\)
よって、共有点は\(0\)個
(4)\(y=x^2-8x+16\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-8)^2-4×1×16\)
\(\ \ \ =0\)
よって、共有点は\(1\)個
\(\ \ \ =(-8)^2-4×1×16\)
\(\ \ \ =0\)
よって、共有点は\(1\)個
(5)\(y=2x^2-3x-1\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-3)^2-4×2×(-1)\)
\(\ \ \ =17\)
よって、共有点は\(2\)個
\(\ \ \ =(-3)^2-4×2×(-1)\)
\(\ \ \ =17\)
よって、共有点は\(2\)個
(6)\(y=x^2-4x-3\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-4)^2-4×1×(-3)\)
\(\ \ \ =28\)
よって、共有点は\(2\)個
\(\ \ \ =(-4)^2-4×1×(-3)\)
\(\ \ \ =28\)
よって、共有点は\(2\)個
4.次の二次関数のグラフと\(x\)軸の共有点の個数は定数\(k\)の値によってどのように変わるか答えなさい。
(1)\(y=x^2-2x-k-1\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-2)^2-4×1×(-k-1)\)
\(\ \ \ =4k+8\)
よって、
\(k>-2\)のとき、共有点は\(2\)個
\(k=-2\)のとき、共有点は\(1\)個
\(k<-2\)のとき、共有点は\(0\)個
\(\ \ \ =(-2)^2-4×1×(-k-1)\)
\(\ \ \ =4k+8\)
よって、
\(k>-2\)のとき、共有点は\(2\)個
\(k=-2\)のとき、共有点は\(1\)個
\(k<-2\)のとき、共有点は\(0\)個
(2)\(y=x^2+6x+k\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =6^2-4×1×k\)
\(\ \ \ =36-4k\)
よって、
\(k<9\)のとき、共有点は\(2\)個
\(k=9\)のとき、共有点は\(1\)個
\(k>9\)のとき、共有点は\(0\)個
\(\ \ \ =6^2-4×1×k\)
\(\ \ \ =36-4k\)
よって、
\(k<9\)のとき、共有点は\(2\)個
\(k=9\)のとき、共有点は\(1\)個
\(k>9\)のとき、共有点は\(0\)個
(3)\(y=-x^2+4x+2k\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =4^2-4×(-1)×2k\)
\(\ \ \ =16+8k\)
よって、
\(k>-2\)のとき、共有点は\(2\)個
\(k=-2\)のとき、共有点は\(1\)個
\(k<-2\)のとき、共有点は\(0\)個
\(\ \ \ =4^2-4×(-1)×2k\)
\(\ \ \ =16+8k\)
よって、
\(k>-2\)のとき、共有点は\(2\)個
\(k=-2\)のとき、共有点は\(1\)個
\(k<-2\)のとき、共有点は\(0\)個
5.次の放物線と直線の共有点の座標を求めなさい。
(1)\(y=x^2-6x+11,y=3x-3\)
\(x^2-6x+11=3x-3\)
\(x^2-9x+14=0\)
\((x-2)(x-7)=0\)
\(x=2,7\)
\(x=2\)のとき、\(y=3\)
\(x=7\)のとき、\(y=18\)
よって、
\((2,3),(7,18)\)
\(x^2-9x+14=0\)
\((x-2)(x-7)=0\)
\(x=2,7\)
\(x=2\)のとき、\(y=3\)
\(x=7\)のとき、\(y=18\)
よって、
\((2,3),(7,18)\)
(2)\(y=x^2-6x+11,y=-2x+7\)
\(x^2-6x+11=-2x+7\)
\(x^2-4x+4=0\)
\((x-2)^2=0\)
\(x=2\)
\(x=2\)のとき、\(y=3\)
よって、
\((2,3)\)
\(x^2-4x+4=0\)
\((x-2)^2=0\)
\(x=2\)
\(x=2\)のとき、\(y=3\)
よって、
\((2,3)\)
(3)\(y=-x^2+2x+3,y=-2x-2\)
\(-x^2+2x+3=-2x-2\)
\(x^2-4x-5=0\)
\((x+1)(x-5)=0\)
\(x=-1,5\)
\(x=-1\)のとき、\(y=0\)
\(x=5\)のとき、\(y=-12\)
よって、
\((-1,0),(5,-12)\)
\(x^2-4x-5=0\)
\((x+1)(x-5)=0\)
\(x=-1,5\)
\(x=-1\)のとき、\(y=0\)
\(x=5\)のとき、\(y=-12\)
よって、
\((-1,0),(5,-12)\)
(4)\(y=-x^2+2x+5,y=x+3\)
\(-x^2+2x+5=x+3\)
\(x^2-x-2=0\)
\((x+1)(x-2)=0\)
\(x=-1,2\)
\(x=-1\)のとき、\(y=2\)
\(x=2\)のとき、\(y=5\)
よって、
\((-1,2),(2,5)\)
\(x^2-x-2=0\)
\((x+1)(x-2)=0\)
\(x=-1,2\)
\(x=-1\)のとき、\(y=2\)
\(x=2\)のとき、\(y=5\)
よって、
\((-1,2),(2,5)\)
6.次の二次関数のグラフと直線の共有点の個数は定数\(k\)の値によってどのように変わるか答えなさい。
(1)\(y=-x^2+3x-3,y=x+k\)
\(-x^2+3x-3=x+k\)
\(x^2-2x+k+3=0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-2)^2-4×1×(k+3)\)
\(\ \ \ =-2-k\)
よって、
\(k<-2\)のとき、共有点は\(2\)個
\(k=-2\)のとき、共有点は\(1\)個
\(k>-2\)のとき、共有点は\(0\)個
\(x^2-2x+k+3=0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-2)^2-4×1×(k+3)\)
\(\ \ \ =-2-k\)
よって、
\(k<-2\)のとき、共有点は\(2\)個
\(k=-2\)のとき、共有点は\(1\)個
\(k>-2\)のとき、共有点は\(0\)個
(2)\(y=x^2-3x+1,y=2x+k\)
\(x^2-3x+1=2x+k\)
\(x^2-5x+1-k=0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-5)^2-4×1×(1-k)\)
\(\ \ \ =21+4k\)
よって、
\(\displaystyle k>-\frac{21}{4}\)のとき、共有点は\(2\)個
\(\displaystyle k=-\frac{21}{4}\)のとき、共有点は\(1\)個
\(\displaystyle k<-\frac{21}{4}\)のとき、共有点は\(0\)個
\(x^2-5x+1-k=0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-5)^2-4×1×(1-k)\)
\(\ \ \ =21+4k\)
よって、
\(\displaystyle k>-\frac{21}{4}\)のとき、共有点は\(2\)個
\(\displaystyle k=-\frac{21}{4}\)のとき、共有点は\(1\)個
\(\displaystyle k<-\frac{21}{4}\)のとき、共有点は\(0\)個
(3)\(y=x^2-2x-2,y=2x+k\)
\(x^2-2x-2=2x+k\)
\(x^2-4x-2-k=0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-4)^2+4×1×(2+k)\)
\(\ \ \ =24+4k\)
よって、
\(k>-6\)のとき、共有点は\(2\)個
\(k=-6\)のとき、共有点は\(1\)個
\(k<-6\)のとき、共有点は\(0\)個
\(x^2-4x-2-k=0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-4)^2+4×1×(2+k)\)
\(\ \ \ =24+4k\)
よって、
\(k>-6\)のとき、共有点は\(2\)個
\(k=-6\)のとき、共有点は\(1\)個
\(k<-6\)のとき、共有点は\(0\)個
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