【高校数学Ⅰ】2-3-2 二次関数とx軸の共有点｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅰの「二次関数とx軸の共有点」について解説しています。判別式を使って交点の個数を判断する方法や、放物線と直線の交点条件を整理してまとめました。定期テストや入試の基礎固めに役立つ内容です。
二次関数と\(x\)軸の交点の基本
【二次関数と\(x\)軸の共有点】
二次関数\(y=ax^2+bx+c\)のグラフと\(x\)軸が共有点をもつとき、その共有点の\(x\)座標は\(ax^2+bx+c=0\)の実数解である。
【例題】次の二次関数のグラフと\(x\)軸の共有点の座標を求めなさい。
\((x-1)(x-4)=0\)
\(x=1,4\)
よって、共有点の座標は
\((1,0),(4,0)\)
\((x-3)^2=0\)
\(x=3\)
よって、共有点の座標は
\((3,0)\)
判別式による交点の個数の判定
【二次関数と\(x\)軸の共有点の条件】
二次関数\(y=ax^2+bx+c\)のグラフと\(x\)軸との位置関係は\(b^2-4ac\)で決まる。
(1)\(b^2-4ac > 0\)のとき、異なる2点で交わる。
(2)\(b^2-4ac = 0\)のとき、1点で接する。
(3)\(b^2-4ac < 0\)のとき、共有点をもたない。
放物線と\(x\)軸との共有点が\(2\)個のとき、放物線は\(x\)軸と交わるといい、その共有点を交点という。
放物線と\(x\)軸との共有点が\(1\)個のとき、放物線は\(x\)軸と接するといい、その共有点を接点という。
【例題】次の二次関数のグラフと\(x\)軸の共有点の個数を求めなさい。
\(\ \ \ =4^2-4×1×3\)
\(\ \ \ =4\)
よって、共有点は\(2\)個
放物線と直線の交点条件
【放物線と直線】
二次関数\(y=ax^2+bx+c\)のグラフと直線\(y=mx+n\)の共有点の\(x\)座標は、\(ax^2+bx+c=mx+n\)の実数解と一致する。
放物線と直線の共有点の個数も判別式を使って同様に調べることができる。
【例題】次の放物線と直線の共有点の座標を求めなさい。
\(x^2-5x+4=0\)
\((x-1)(x-4)=0\)
\(x=1,4\)
\(x=1\)のとき、\(y=2\)
\(x=4\)のとき、\(y=5\)
よって、
\((1,2),(4,5)\)