2-3-2 二次関数とx軸の共有点(要点)

【二次関数とx軸の共有点】

二次関数\(y=ax^2+bx+c\)のグラフと\(x\)軸が共有点をもつとき、その共有点の\(x\)座標は\(ax^2+bx+c=0\)の実数解である。

【例題】次の二次関数のグラフと\(x\)軸の共有点の座標を求めなさい。

(1)\(y=x^2-5x+4\)

\(x^2-5x+4=0\)
\((x-1)(x-4)=0\)
\(x=1,4\)
よって、共有点の座標は
\((1,0),(4,0)\)

(2)\(y=x^2-6x+9\)

\(x^2-6x+9=0\)
\((x-3)^2=0\)
\(x=3\)
よって、共有点の座標は
\((3,0)\)

【二次関数とx軸の共有点の条件】

二次関数\(y=ax^2+bx+c\)のグラフと\(x\)軸との位置関係は\(b^2-4ac\)で決まる。
(1)\(b^2-4ac > 0\)のとき、異なる2点で交わる。

(2)\(b^2-4ac = 0\)のとき、1点で接する。
(3)\(b^2-4ac < 0\)のとき、共有点をもたない。

【例題】次の二次関数のグラフと\(x\)軸の共有点の個数を求めなさい。

(1)\(x^2+4x+3=0\)

\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =4^2-4×1×3\)
\(\ \ \ =4\)
よって、共有点は\(2\)個

【放物線と直線】

二次関数\(y=ax^2+bx+c\)のグラフと直線\(y=mx+n\)の共有点の\(x\)座標は、\(ax^2+bx+c=mx+n\)の実数解と一致する。
放物線と直線の共有点の個数も判別式を使って同様に調べることができる。

【例題】次の放物線と直線の共有点の座標を求めなさい。

\(y=x^2-4x+5,y=x+1\)

\begin{align} x^2-4x+5 &= x+1 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-1)(x-4) &= 0 \end{align} \(x=1,4\)
\(x=1\)のとき、\(y=2\)
\(x=4\)のとき、\(y=5\)
【答】\((1,2),(4,5)\)