【高校数学Ⅰ】2-4-2 二次不等式の応用｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅰの「二次不等式の応用」について解説しています。二次関数とx軸の共有点の利用や、解から係数を決定する方法、絶対値を含む二次方程式・不等式の解き方を整理しています。典型問題や応用問題の理解を深め、定期テストや大学入試対策に役立つ内容です。
二次関数と\(x\)軸の共有点
【例題】\(y=2x^2+(2k-1)x+1\)のグラフと\(x\)軸の共有点の個数は定数\(k\)の値によってどのように変わるか答えなさい。
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(2k-1)^2-4×2×1\)
\(\ \ \ =4k^2-4k-8\)
よって、
\(k<-1,2< k\)のとき、共有点は\(2\)個
\(k=-1,2\)のとき、共有点は\(1\)個
\(-1< k< 2\)のとき、共有点は\(0\)個
\(\ \ \ =(2k-1)^2-4×2×1\)
\(\ \ \ =4k^2-4k-8\)
よって、
\(k<-1,2< k\)のとき、共有点は\(2\)個
\(k=-1,2\)のとき、共有点は\(1\)個
\(-1< k< 2\)のとき、共有点は\(0\)個
放物線と\(x\)軸の共有点の応用（係数決定など）
【放物線と\(x\)軸の共有点の応用】
二次関数\(f(x)=ax^2+bx+c\ (a>0)\)のグラフに対して、判別式\(D=b^2-4ac\)とする。
(1)\(x\)軸の正の部分で異なる\(2\)点で交わるとき、
・\(D>0\)
・軸の位置\(>0\)
・\(f(0)>0\)
(2)\(x\)軸の負の部分で異なる\(2\)点で交わるとき、
・\(D>0\)
・軸の位置\(<0\)
・\(f(0)>0\)
(3)\(x\)軸の正の部分と負の部分の\(2\)点で交わるとき、
・\(f(0)<0\)
【例題】二次方程式\(x^2-2kx-4k+5=0\)が次のような異なる2つの解をもつとき、定数\(k\)の範囲を求めなさい。
(1)\(2\)つの解が共に正
・\(D>0\)を満たす。
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-2k)^2-4×1×(-4k+5)\)
\(\ \ \ =4k^2+16k-20\)
\(4k^2+16k-20>0\)
これを解くと、
\(k< -5,1< k\)・・・(1)
・軸の位置\(>0\)を満たす。
\(x^2-2kx-4k+5\)を平方完成すると、
\((x-k)^2-k^2-4k+5\)
軸の位置は\(x=k\)なので、
\(k>0\)・・・(2)
・\(f(0)>0\)を満たす。
\(-4k+5>0\)
\(\displaystyle k<\frac{5}{4}\)・・・(3)
よって、(1)、(2)、(3)より
\(\displaystyle 1< k< \frac{5}{4}\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-2k)^2-4×1×(-4k+5)\)
\(\ \ \ =4k^2+16k-20\)
\(4k^2+16k-20>0\)
これを解くと、
\(k< -5,1< k\)・・・(1)
・軸の位置\(>0\)を満たす。
\(x^2-2kx-4k+5\)を平方完成すると、
\((x-k)^2-k^2-4k+5\)
軸の位置は\(x=k\)なので、
\(k>0\)・・・(2)
・\(f(0)>0\)を満たす。
\(-4k+5>0\)
\(\displaystyle k<\frac{5}{4}\)・・・(3)
よって、(1)、(2)、(3)より
\(\displaystyle 1< k< \frac{5}{4}\)
(2)\(2\)つの解が共に負
・\(D>0\)を満たす。
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-2k)^2-4×1×(-4k+5)\)
\(\ \ \ =4k^2+16k-20\)
\(4k^2+16k-20>0\)
これを解くと、
\(k<-5,1< k\)・・・(1)
・軸の位置\(<0\)を満たす。
\(x^2-2kx-4k+5\)を平方完成すると、
\((x-k)^2-k^2-4k+5\)
軸の位置は\(x=k\)なので、
\(k<0\)・・・(2)
・\(f(0)>0\)を満たす。
\(-4k+5>0\)
\(\displaystyle k<\frac{5}{4}\)・・・(3)
よって、(1)、(2)、(3)より
\(k<-5\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-2k)^2-4×1×(-4k+5)\)
\(\ \ \ =4k^2+16k-20\)
\(4k^2+16k-20>0\)
これを解くと、
\(k<-5,1< k\)・・・(1)
・軸の位置\(<0\)を満たす。
\(x^2-2kx-4k+5\)を平方完成すると、
\((x-k)^2-k^2-4k+5\)
軸の位置は\(x=k\)なので、
\(k<0\)・・・(2)
・\(f(0)>0\)を満たす。
\(-4k+5>0\)
\(\displaystyle k<\frac{5}{4}\)・・・(3)
よって、(1)、(2)、(3)より
\(k<-5\)
(3)\(2\)つの解が正と負
・\(f(0)<0\)を満たす。
\(-4k+5<0\)
\(\displaystyle k>\frac{5}{4}\)
\(-4k+5<0\)
\(\displaystyle k>\frac{5}{4}\)
絶対値を含む二次方程式・二次不等式の解法
【例題】次の方程式・不等式を解きなさい。
(1)\(|x^2-4|=-3x\)
(a)\(x^2-4\geqq0\)のとき、\(x\leqq -2,2\leqq x\)
\(x^2-4=-3x\)
これを解くと、\(x=-4,1\)
よって、\(x=-4\)
(b)\(x^2-4< 0\)のとき、\(-2< x< 2\)
\(-(x^2-4)=-3x\)
これを解くと、\(x=-1,4\)
よって、\(x=-1\)
(a)、(b)より、
\(x=-4,-1\)
\(x^2-4=-3x\)
これを解くと、\(x=-4,1\)
よって、\(x=-4\)
(b)\(x^2-4< 0\)のとき、\(-2< x< 2\)
\(-(x^2-4)=-3x\)
これを解くと、\(x=-1,4\)
よって、\(x=-1\)
(a)、(b)より、
\(x=-4,-1\)
(2)\(|x^2-2x-3|\geqq 3-x\)
(a)\(x^2-2x-3\geqq0\)のとき、\(x\leqq -1,3\leqq x\)
\(x^2-2x-3\geqq 3-x\)
これを解くと、\(x\leqq -2,3\leqq x\)
よって、\(x\leqq -2,3\leqq x\)
(b)\(x^2-2x-3< 0\)のとき、\(-1< x< 3\)
\(-(x^2-2x-3)\geqq 3-x\)
これを解くと、\(0\leqq x\leqq 3\)
よって、\(0\leqq x< 3\)
(a)、(b)より、
\(x\leqq -2,0\leqq x\)
\(x^2-2x-3\geqq 3-x\)
これを解くと、\(x\leqq -2,3\leqq x\)
よって、\(x\leqq -2,3\leqq x\)
(b)\(x^2-2x-3< 0\)のとき、\(-1< x< 3\)
\(-(x^2-2x-3)\geqq 3-x\)
これを解くと、\(0\leqq x\leqq 3\)
よって、\(0\leqq x< 3\)
(a)、(b)より、
\(x\leqq -2,0\leqq x\)
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