2-4-2 二次不等式の応用(要点)

【例題】\(y=2x^2+(2k-1)x+1\)のグラフと\(x\)軸の共有点の個数は定数\(k\)の値によってどのように変わるか答えなさい。

\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(2k-1)^2-4×2×1\)
\(\ \ \ =4k^2-4k-8\)
よって、
\(k<-1,2< k\)のとき、共有点は\(2\)個
\(k=-1,2\)のとき、共有点は\(1\)個
\(-1< k< 2\)のとき、共有点は\(0\)個

【放物線と\(x\)軸の共有点の応用】

二次関数\(f(x)=ax^2+bx+c\ (a>0)\)のグラフに対して、判別式\(D=b^2-4ac\)とする。

(1)\(x\)軸の正の部分で異なる2点で交わるとき、
・\(D>0\)
・軸の位置\(>0\)
・\(f(0)>0\)

(2)\(x\)軸の負の部分で異なる2点で交わるとき、
・\(D>0\)
・軸の位置\(<0\)
・\(f(0)>0\)

(3)\(x\)軸の正の部分と負の部分の2点で交わるとき、
・\(f(0)<0\)

【例題】二次方程式\(x^2-2kx-4k+5=0\)が次のような異なる2つの解をもつとき、定数\(k\)の範囲を求めなさい。

(1)2つの解が共に正

・D>0を満たす。
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-2k)^2-4×1×(-4k+5)\)
\(\ \ \ =4k^2+16k-20\)
\(4k^2+16k-20>0\)
これを解くと、
\(k< -5,1< k\)・・・(1)

・軸の位置>0を満たす。
\(x^2-2kx-4k+5\)を平方完成すると、
\((x-k)^2-k^2-4k+5\)
軸の位置は\(x=k\)なので、
\(k>0\)・・・(2)

・\(f(0)\)>0を満たす。
\(-4k+5>0\)
\(\displaystyle k<\frac{5}{4}\)・・・(3)

よって、(1)、(2)、(3)より
\(\displaystyle 1< k< \frac{5}{4}\)

(2)2つの解が共に負

・D>0を満たす。
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-2k)^2-4×1×(-4k+5)\)
\(\ \ \ =4k^2+16k-20\)
\(4k^2+16k-20>0\)
これを解くと、
\(k< -5,1< k\)・・・(1)

・軸の位置<0を満たす。
\(x^2-2kx-4k+5\)を平方完成すると、
\((x-k)^2-k^2-4k+5\)
軸の位置は\(x=k\)なので、
\(k<0\)・・・(2)

・\(f(0)\)>0を満たす。
\(-4k+5>0\)
\(\displaystyle k<\frac{5}{4}\)・・・(3)

よって、(1)、(2)、(3)より
\(k<-5\)

(3)2つの解が正と負

・\(f(0)\)<0を満たす。
\(-4k+5<0\)
\(\displaystyle k>\frac{5}{4}\)

【例題】次の方程式・不等式を解きなさい。

(1)\(|x^2-4|=-3x\)

(a)\(x^2-4\geqq0\)のとき、\(x\leqq -2,2\leqq x\)
\(x^2-4=-3x\)
これを解くと、\(x=-4,1\)
よって、\(x=-4\)

(b)\(x^2-4< 0\)のとき、\(-2< x < 2\)
\(-(x^2-4)=-3x\)
これを解くと、\(x=-1,4\)
よって、\(x=-1\)

(a)、(b)より、
【答】\(x=-4,-1\)

(2)\(|x^2-2x-3|\geqq 3-x\)

(a)\(x^2-2x-3\geqq0\)のとき、\(x\leqq -1,3\leqq x\)
\(x^2-2x-3\geqq 3-x\)
これを解くと、\(x\leqq -2,3\leqq x\)
よって、\(x\leqq -2,3\leqq x\)

(b)\(x^2-2x-3< 0\)のとき、\(-1< x < 3\)
\(-(x^2-2x-3)\geqq 3-x\)
これを解くと、\(0\leqq x\leqq 3\)
よって、\(0\leqq x< 3\)

(a)、(b)より、
【答】\(x\leqq -2,0\leqq x\)