【高校数学Ⅰ】3-3-1 正弦定理｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅰの「正弦定理」について解説しています。三角形の辺と角の関係を表す公式の意味と使い方を整理し、図や例題を通して基礎から応用まで学べる内容です。定期テストや大学入試対策にも役立ちます。
正弦定理｜公式と応用例
【正弦定理】
\(△ABC\)の外接円の半径を\(R\)とする。
\(\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\)
【例題】\(△ABC\)において次の問いに答えなさい。
(1)\(a=10,A=30^{\circ}\)のとき、外接円の半径\(R\)を求めなさい。
正弦定理より、
\(\displaystyle \frac{10}{\sin30^{\circ}}=2R\)
\(\displaystyle 10\div\frac{1}{2}=2R\)
\(R=10\)
\(\displaystyle \frac{10}{\sin30^{\circ}}=2R\)
\(\displaystyle 10\div\frac{1}{2}=2R\)
\(R=10\)
(2)\(b=\sqrt{3},B=120^{\circ}\)のとき、外接円の半径\(R\)を求めなさい。
正弦定理より、
\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sin120^{\circ}}=2R\)
\(\displaystyle \sqrt{3}\div\frac{\sqrt{3}}{2}=2R\)
\(R=1\)
\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sin120^{\circ}}=2R\)
\(\displaystyle \sqrt{3}\div\frac{\sqrt{3}}{2}=2R\)
\(R=1\)
(3)\(c=5\),外接円の半径\(R=5\)のとき、\(C\)を求めなさい。
正弦定理より、
\(\displaystyle \frac{5}{\sin C}=2\times5\)
\(5=10\sin C\)
\(\displaystyle \sin C=\frac{1}{2}\)
\(C=30^{\circ},150^{\circ}\)
\(\displaystyle \frac{5}{\sin C}=2\times5\)
\(5=10\sin C\)
\(\displaystyle \sin C=\frac{1}{2}\)
\(C=30^{\circ},150^{\circ}\)
(4)\(b=2,c=\sqrt{2},C=30^{\circ}\)のとき、\(B\)を求めなさい。
正弦定理より、
\(\displaystyle \frac{2}{\sin B}=\frac{\sqrt{2}}{\sin30^{\circ}}\)
\(\displaystyle \sqrt{2}\sin B=\frac{1}{2}\times2\)
\(\displaystyle \sin B=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(B=45^{\circ},135^{\circ}\)
\(\displaystyle \frac{2}{\sin B}=\frac{\sqrt{2}}{\sin30^{\circ}}\)
\(\displaystyle \sqrt{2}\sin B=\frac{1}{2}\times2\)
\(\displaystyle \sin B=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(B=45^{\circ},135^{\circ}\)
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