【高校数学Ⅰ】3-4-3 空間図形への応用｜問題集
1.\(100\)m離れた\(2\)地点\(A,B\)から山の頂上\(P\)を見ると、\(∠PAB=60°,∠PBA=75°\)だった。また、\(∠PBH=30°\)だった。このとき、標高差\(PH\)を求めなさい。
\(∠AHB=180°-(60°+75°)=45°\)
\(△ABH\)において、正弦定理より、
\(\displaystyle \frac{100}{\sin45^{\circ}}=\frac{HB}{\sin60^{\circ}}\)
\(\displaystyle HB=\frac{100}{\sin45^{\circ}}\times\sin60^{\circ}\)
\(\displaystyle HB=50\sqrt{6}\)
\(\displaystyle \tan30^{\circ}=\frac{PH}{50\sqrt{6}}\)
\(\displaystyle PH=50\sqrt{6}\times\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle PH=50\sqrt{2}\)
よって、\(50\sqrt{2}\)m
2.\(1\)辺の長さが\(2\)cmの正四面体がある。辺\(BC\)の中点を\(M\)とし、\(A,D,M\)を結ぶ。次の問いに答えなさい。
(1)\(\cos∠ADM\)を求めなさい。
\(△ABM\)において、三平方の定理より、
\(AM^2=2^2-1^2\)
\(AM^2=3\)
\(AM>0\)より、
\(AM=\sqrt{3}\)
\(△AMB\)において、余弦定理より、
\(\cos∠ADM\)
\(\displaystyle =\frac{2^2+(\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}{2\times2\times\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle =\frac{4}{4\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(AM^2=2^2-1^2\)
\(AM^2=3\)
\(AM>0\)より、
\(AM=\sqrt{3}\)
\(△AMB\)において、余弦定理より、
\(\cos∠ADM\)
\(\displaystyle =\frac{2^2+(\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}{2\times2\times\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle =\frac{4}{4\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{3}\)
(2)\(△ADM\)の面積\(S\)を求めなさい。
\(\displaystyle \sin∠ADM=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)
よって、
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{3}\sin∠ADM\)
\(\displaystyle \ \ =\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{6}}{3}\)
\(\ \ =\sqrt{2}\)cm\(^2\)
よって、
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{3}\sin∠ADM\)
\(\displaystyle \ \ =\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{6}}{3}\)
\(\ \ =\sqrt{2}\)cm\(^2\)
(3)正四面体\(ABCD\)の高さ\(h\)を求めなさい。
\(△ADM\)において、
\(\displaystyle \sin∠ADM=\frac{h}{AD}\)
\(h=AD\sin∠ADM\)
\(\displaystyle \ \ =2\times\frac{\sqrt{6}}{3}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2\sqrt{6}}{3}\)cm
\(\displaystyle \sin∠ADM=\frac{h}{AD}\)
\(h=AD\sin∠ADM\)
\(\displaystyle \ \ =2\times\frac{\sqrt{6}}{3}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2\sqrt{6}}{3}\)cm
(4)正四面体\(ABCD\)の体積\(V\)を求めなさい。
\(△BCD\)の底面積\(S\)は、
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}\times2\times2\sin60^{\circ}\)
\(\ \ =\sqrt{3}\)cm\(^2\)
\(ABCD\)の体積\(V\)は、
\(\displaystyle V=\frac{1}{3}\times\sqrt{3}\times\frac{2\sqrt{6}}{3}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2\sqrt{2}}{3}\)cm\(^3\)
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}\times2\times2\sin60^{\circ}\)
\(\ \ =\sqrt{3}\)cm\(^2\)
\(ABCD\)の体積\(V\)は、
\(\displaystyle V=\frac{1}{3}\times\sqrt{3}\times\frac{2\sqrt{6}}{3}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2\sqrt{2}}{3}\)cm\(^3\)
3.\(AB=1,AD=2,AE=3\)の直方体\(ABCDEFGH\)がある。次の問いに答えなさい。
(1)\(\cos BGD\)を求めなさい。
三平方の定理より、\(BD,BG,DG\)を求める。
\(BD^2=1^2+2^2=5\)
\(BD>0\)より、\(BD=\sqrt{5}\)
\(BG^2=2^2+3^2=13\)
\(BG>0\)より、\(BG=\sqrt{13}\)
\(DG^2=1^2+3^2=10\)
\(DG>0\)より、\(DG=\sqrt{10}\)
\(△BDG\)において、余弦定理より、
\(\cos∠BGD\)
\(\displaystyle =\frac{(\sqrt{13})^2+(\sqrt{10})^2-(\sqrt{5})^2}{2\times\sqrt{13}\times\sqrt{10}}\)
\(\displaystyle =\frac{18}{2\sqrt{130}}\)
\(\displaystyle =\frac{9\sqrt{130}}{130}\)
\(BD^2=1^2+2^2=5\)
\(BD>0\)より、\(BD=\sqrt{5}\)
\(BG^2=2^2+3^2=13\)
\(BG>0\)より、\(BG=\sqrt{13}\)
\(DG^2=1^2+3^2=10\)
\(DG>0\)より、\(DG=\sqrt{10}\)
\(△BDG\)において、余弦定理より、
\(\cos∠BGD\)
\(\displaystyle =\frac{(\sqrt{13})^2+(\sqrt{10})^2-(\sqrt{5})^2}{2\times\sqrt{13}\times\sqrt{10}}\)
\(\displaystyle =\frac{18}{2\sqrt{130}}\)
\(\displaystyle =\frac{9\sqrt{130}}{130}\)
(2)\(△BDG\)の面積\(S\)を求めなさい。
\(\displaystyle \sin∠BGD=\sqrt{1-\left(\frac{9\sqrt{130}}{130}\right)^2}=\frac{7\sqrt{130}}{130}\)
よって、
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}\times\sqrt{13}\times\sqrt{10}\sin∠BGD\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{1}{2}\sqrt{130}\times\frac{7\sqrt{130}}{130}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{7}{2}\)cm\(^2\)
よって、
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}\times\sqrt{13}\times\sqrt{10}\sin∠BGD\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{1}{2}\sqrt{130}\times\frac{7\sqrt{130}}{130}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{7}{2}\)cm\(^2\)
(3)三角錐\(BCDG\)の体積\(V\)を求めなさい。
\(△BCD\)の底面積\(S\)は、
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}\times2\times1\)
\(\displaystyle \ \ =1\)
\(BCDG\)の体積\(V\)は、
\(\displaystyle V=\frac{1}{3}\times1\times3\)
\(\displaystyle \ \ =1\)cm\(^3\)
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}\times2\times1\)
\(\displaystyle \ \ =1\)
\(BCDG\)の体積\(V\)は、
\(\displaystyle V=\frac{1}{3}\times1\times3\)
\(\displaystyle \ \ =1\)cm\(^3\)
(4)\(C\)から平面\(BDG\)へ下ろした垂線\(CI\)の長さを求めなさい。
\(\displaystyle V=\frac{1}{3}\times△BDG\times CI\)
\(\displaystyle CI=\frac{3V}{△BDG}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =3\times1\div\frac{7}{2}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\frac{6}{7}\)
\(\displaystyle CI=\frac{3V}{△BDG}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =3\times1\div\frac{7}{2}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =\frac{6}{7}\)
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