【高校数学Ⅰ】4-1-3 分散と標準偏差｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅰの「分散」と「標準偏差」について解説しています。データのばらつきを示す分散の意味と計算方法、標準偏差の求め方、さらに度数分布表を使った分散の計算手順を整理しました。定期テストや入試対策にも役立ちます。
分散の意味と公式
【分散】
変量\(x\)の\(n\)個の値\(x_1,x_2,・・・,x_n\)の平均値を\(\bar{x}\)とするとき、\(x_1-\bar{x},x_2-\bar{x},・・・,x_n-\bar{x}\)をそれぞれの値の偏差という。偏差の\(2\)乗の平均値を変量\(x\)の分散といい、\(s^2\)で表す。
【例題】次のデータの分散を求めなさい。
\(6,7,4,8,9,4,3,8,6,5\)
\(6,7,4,8,9,4,3,8,6,5\)
平均値は
\(\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{10}(6+7+4+8+9\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +4+3+8+6+5)\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{60}{10}\)
\(\ \ =6\)
各データの偏差は
\(0,1,-2,2,3,-2,-3,2,0,-1\)
分散は
\(\displaystyle s^2=\frac{1}{10}\{0^2+1^2+(-2)^2+2^2+3^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(-2)^2+(-3)^2+2^2+0^2+(-1)^2\}\)
\(\displaystyle \ \ \ =\frac{36}{10}\)
\(\ \ \ =3.6\)
\(\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{10}(6+7+4+8+9\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +4+3+8+6+5)\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{60}{10}\)
\(\ \ =6\)
各データの偏差は
\(0,1,-2,2,3,-2,-3,2,0,-1\)
分散は
\(\displaystyle s^2=\frac{1}{10}\{0^2+1^2+(-2)^2+2^2+3^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(-2)^2+(-3)^2+2^2+0^2+(-1)^2\}\)
\(\displaystyle \ \ \ =\frac{36}{10}\)
\(\ \ \ =3.6\)
標準偏差の定義と特徴
【標準偏差】
分散の正の平方根を標準偏差といい、\(s\)で表す。
標準偏差\(=\sqrt{分散}\)
\(x^2\)の平均値を\(\bar{x^2}\)で表すとき、標準偏差\(s\)は次のようにも表される。
標準偏差\(=\sqrt{(x^2の平均値)-(xの平均値)^2}\)
\(s=\sqrt{\bar{x^2}-(\bar{x})^2}\)
【例題】次のデータの標準偏差を求めなさい。
\(6,7,4,8,9,4,3,8,6,5\)
\(6,7,4,8,9,4,3,8,6,5\)
\(x^2\)の平均値は
\(\displaystyle \bar{x^2}=\frac{1}{10}(6^2+7^2+4^2+8^2+9^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +4^2+3^2+8^2+6^2+5^2)\)
\(\displaystyle \ \ \ =\frac{396}{10}\)
\(\ \ \ =39.6\)
\(x\)の平均値は
\(\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{10}(6+7+4+8+9\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +4+3+8+6+5)\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{60}{10}\)
\(\ \ =6\)
よって、標準偏差は
\(\displaystyle s=\sqrt{39.6-6^2}\)
\(\ \ \ =\sqrt{3.6}\)
\(\displaystyle \bar{x^2}=\frac{1}{10}(6^2+7^2+4^2+8^2+9^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +4^2+3^2+8^2+6^2+5^2)\)
\(\displaystyle \ \ \ =\frac{396}{10}\)
\(\ \ \ =39.6\)
\(x\)の平均値は
\(\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{10}(6+7+4+8+9\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +4+3+8+6+5)\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{60}{10}\)
\(\ \ =6\)
よって、標準偏差は
\(\displaystyle s=\sqrt{39.6-6^2}\)
\(\ \ \ =\sqrt{3.6}\)
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