4-1-3 分散と標準偏差(要点)

【分散】

変量\(x\)の\(n\)個の値\(x_1,x_2,・・・,x_n\)の平均値を\(\bar{x}\)とするとき、\(x_1-\bar{x},x_2-\bar{x},・・・,x_n-\bar{x}\)をそれぞれの値の偏差という。
偏差の\(2\)乗の平均値を変量\(x\)の分散といい、\(s^2\)で表す。

分散\(=\)(偏差)\(^2\)の平均値
\(\displaystyle s^2=\frac{1}{n}{((x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+・・・+(x_n-\bar{x})^2)}\)

【例題】次のデータの分散を求めなさい。

\(6,7,4,8,9,4,3,8,6,5\)

平均値は
\(\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{10}(6+7+4+8+9+4+3+8+6+5)\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{60}{10}\)
\(\ \ =6\)

各データの偏差は
\(0,1,-2,2,3,-2,-3,2,0,-1\)

分散は
\(\displaystyle s^2=\frac{1}{10}\{0^2+1^2+(-2)^2+2^2+3^2+(-2)^2+(-3)^2+2^2+0^2+(-1)^2\}\)
\(\displaystyle \ \ \ =\frac{36}{10}\)
\(\ \ \ =3.6\)

【標準偏差】

分散の正の平方根を標準偏差といい、\(s\)で表す。
標準偏差\(=\sqrt{分散}\)

\(x^2\)の平均値を\(\bar{x^2}\)で表すとき、標準偏差\(s\)は次のようにも表される。
標準偏差\(=\sqrt{(x^2の平均値)-(xの平均値)^2}\)
\(s=\sqrt{\bar{x^2}-(\bar{x})^2}\)

【例題】次のデータの標準偏差を求めなさい。

\(6,7,4,8,9,4,3,8,6,5\)

\(x^2\)の平均値は
\(\displaystyle \bar{x^2}=\frac{1}{10}(6^2+7^2+4^2+8^2+9^2+4^2+3^2+8^2+6^2+5^2)\)
\(\displaystyle \ \ \ =\frac{396}{10}\)
\(\ \ \ =39.6\)

\(x\)の平均値は
\(\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{10}(6+7+4+8+9+4+3+8+6+5)\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{60}{10}\)
\(\ \ =6\)

よって、標準偏差は
\(\displaystyle s=\sqrt{39.6-6^2}\)
\(\ \ \ =\sqrt{3.6}\)