【高校数学Ⅱ】1-1-2 二項定理｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱの「二項定理」について解説しています。展開公式や一般項の求め方をわかりやすく整理し、さらに多項定理にも触れています。定期テストや入試対策に役立つ重要ポイントを効率よく学べる要点まとめです。
二項定理の展開公式
【二項定理】
\({}_{n}\mathrm{C}_0,{}_{n}\mathrm{C}_1,・・・,{}_{n}\mathrm{C}_{n-1},{}_{n}\mathrm{C}_n\)を二項係数という。
二項係数を順に並べて書くと、以下のような図になる。
この図をパスカルの三角形といい、
・各段の両端は全て\(1\)になっている。
・各段の数は左上と右上の和になっている。
という性質を持つ。
【例題】次の式を展開しなさい。
\(\ \ \ +{}_{5}\mathrm{C}_3・x^2・2^3+{}_{5}\mathrm{C}_4・x^1・2^4+{}_{5}\mathrm{C}_5・x^0・2^5\)
\(=x^5+10x^4+40x^3+80x^2+80x+32\)
\(\ \ \ +{}_{4}\mathrm{C}_2・(2x)^2・(-3y)^2+{}_{4}\mathrm{C}_3・(2x)^1・(-3y)^3\)
\(\ \ \ +{}_{4}\mathrm{C}_4・(2x)^0・(-3y)^4\)
\(=16x^4-96x^3y+216x^2y^2-216xy^3+81y^4\)
二項定理の一般項の求め方
【二項定理の一般項】
\((a+b)^n\)の展開式の各項は\({}_{n}\mathrm{C}_ra^{n-r}b^r\)と表すことができる。
【例題】次の式の展開式で[]内に指定された項の係数を答えなさい。
\(=35x^4\times27\)
\(=945x^4\)
よって、\(x^4\)の係数は\(945\)
\(=4a^3\times(-2b)\)
\(=-8a^3b\)
よって、\(a^3b\)の係数は\(-8\)
多項定理の展開公式
【多項定理】
\((a+b+c)^n\)の展開式における\(a^pb^qc^r\)の係数は\(\displaystyle \frac{n!}{p!q!r!}\)
ただし、\(p+q+r=n\)とする。
【例題】次の式の展開式で[]内に指定された項の係数を答えなさい。
よって、\(ab^3c^3\)の係数は\(140\)
よって、\(ab^2c^3\)の係数は\(6480\)