【高校数学Ⅱ】1-1-5 恒等式｜問題集

(左辺)\(=2x^2+bx+c\)
(右辺)\(=ax^2+7x+6\)
両辺の係数を比較すると、
\(a=2,b=7,c=6\)

(左辺)\(=(a+1)x^2+bx+c\)
(右辺)\(=cx^2+ax+2\)
両辺の係数を比較すると、
\(\left\{\begin{array}{l}a+1=c \\ b=a \\ c=2\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(a=1,b=1,c=2\)

(左辺)\(=2x^2-7x+8\)
(右辺)\(=(x-3)(ax+b)+c\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =ax^2+(b-3a)x-3b+c\)
両辺の係数を比較すると、
\(\left\{\begin{array}{l}2=a \\ -7=b-3a \\ 8=-3b+c\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(a=2,b=-1,c=5\)

(左辺)\(=x^2+2x+3\)
(右辺)\(=ax^2+bx(x-1)+c(x-1)(x+1)\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =ax^2+bx^2-bx+cx^2-2c\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =(a+b+c)x^2-bx-c\)
両辺の係数を比較すると、
\(\left\{\begin{array}{l}1=a+b+c \\ 2=-b \\ 3=-c\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(a=6,b=-2,c=-3\)

(左辺)\(=x^2+2x+3\)
(右辺)\(=ax^2+b(x+1)(x-1)+cx\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =ax^2+bx^2-b+cx\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =(a+b)x^2+cx-b\)
両辺の係数を比較すると、
\(\left\{\begin{array}{l}1=a+b \\ 2=c \\ 3=-b\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(a=4,b=-3,c=2\)

(左辺)\(\displaystyle =\frac{1}{x(x+1)}\)
(右辺)\(\displaystyle =\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{a(x+1)+bx}{x(x+1)}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{(a+b)x+a}{x(x+1)}\)
両辺の係数を比較すると、
\(\left\{\begin{array}{l}0=a+b \\ 1=a\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(a=1,b=-1\)

(左辺)\(\displaystyle =\frac{2}{x(x+1)(x+2)}\)
(右辺)\(\displaystyle =\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x+2}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{a(x+1)(x+2)+bx(x+2)+cx(x+1)}{x(x+1)(x+2)}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{(a+b+c)x^2+(3a+2b+c)x+2a}{x(x+1)(x+2)}\)
両辺の係数を比較すると、
\(\left\{\begin{array}{l}0=a+b+c \\ 0=3a+2b+c \\ 2=2a\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(a=1,b=-2,c=1\)

(左辺)\(\displaystyle =\frac{1}{x^2(x-1)}\)
(右辺)\(\displaystyle =\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{ax^2+bx(x-1)+c(x-1)}{x^2(x-1)}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{(a+b)x^2+(-b+c)x-c}{x^2(x-1)}\)
両辺の係数を比較すると、
\(\left\{\begin{array}{l}0=a+b \\ 0=-b+c \\ 1=-c\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(a=1,b=-1,c=-1\)