【高校数学Ⅱ】1-1-5 恒等式｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱの「恒等式」について要点を整理しています。恒等式の定義や基本的な性質を確認し、典型的な例題と解答を通して理解を深めます。定期テストや大学入試で頻出する解法のコツや注意点も解説しており、効率的に学習できます。
恒等式の定義と基本
【恒等式】
文字にどのような値を代入しても常に成り立つ等式を恒等式という。
\(A,B\)が\(x\)についての整式であるとき、
(1)\(A=0\)が恒等式ならば、\(A\)の各項の係数は全て\(0\)。
(2)\(A=B\)が恒等式ならば、\(A\)と\(B\)の各項の係数は全て等しい。
【例題】次の等式が\(x\)についての恒等式となるように、\(a,b,c\)の値を求めなさい。
(1)\(x^2+ax-5=(x-1)(x+b)\)
(左辺)\(=x^2+ax-5\)
(右辺)\(=(x-1)(x+b)\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =x^2+(b-1)x-b\)
両辺の係数を比較すると、
\(\left\{\begin{array}{l}a=b-1 \\ -5=-b\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(a=4,b=5\)
(右辺)\(=(x-1)(x+b)\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =x^2+(b-1)x-b\)
両辺の係数を比較すると、
\(\left\{\begin{array}{l}a=b-1 \\ -5=-b\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(a=4,b=5\)
(2)\(x^3=(x-1)^3+a(x+1)^2+bx+c\)
(右辺)\(=(x-1)^3+a(x+1)^2+bx+c\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =x^3-3x^2+3x-1\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +ax^2+2ax+a+bx+c\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =x^3+(a-3)x^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(2a+b+3)x+(a+c-1)\)
両辺の係数を比較すると、
\(\left\{\begin{array}{l}a-3=0 \\ 2a+b+3=0 \\ a+c-1=0\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(a=3,b=-9,c=-2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =x^3-3x^2+3x-1\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +ax^2+2ax+a+bx+c\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =x^3+(a-3)x^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(2a+b+3)x+(a+c-1)\)
両辺の係数を比較すると、
\(\left\{\begin{array}{l}a-3=0 \\ 2a+b+3=0 \\ a+c-1=0\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(a=3,b=-9,c=-2\)
(3)\(\displaystyle \frac{a}{x^2-1}=\frac{b}{x+1}-\frac{3}{x-1}\)
(左辺)\(\displaystyle =\frac{a}{x^2-1}\)
(右辺)\(\displaystyle =\frac{b}{x+1}-\frac{3}{x-1}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{b(x-1)-3(x+1)}{(x+1)(x-1)}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{(b-3)x-b-3}{x^2-1}\)
両辺の係数を比較すると、
\(\left\{\begin{array}{l}b-3=0 \\ -b-3=a\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(a=-6,b=3\)
(右辺)\(\displaystyle =\frac{b}{x+1}-\frac{3}{x-1}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{b(x-1)-3(x+1)}{(x+1)(x-1)}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{(b-3)x-b-3}{x^2-1}\)
両辺の係数を比較すると、
\(\left\{\begin{array}{l}b-3=0 \\ -b-3=a\end{array}\right.\)
これを解くと、
\(a=-6,b=3\)
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