【高校数学Ⅱ】1-2-1 等式の証明｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱの「等式の証明」について要点を整理しています。基本的な証明手順から条件付き等式、比例式の証明まで例題と解答で確認できます。定期テストや入試で頻出のポイントを効率的に学習できます。
等式の証明
【等式の証明】
等式\(A=B\)を証明するには、次の\(3\)つの方法がよく用いられる。
・\(A\)を変形して\(B\)を導く。または、\(B\)を変形して\(A\)を導く。
・\(A\)と\(B\)をそれぞれ変形して、同じ式を導く。
・\(A-B=0\)であることを導く。
【例題】次の等式を証明しなさい。
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =a^2b^2+2a^2+2b^2+4\)
(右辺)\(=(ab+2)^2+2(a-b)^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =a^2b^2+4ab+4+2a^2-4ab+2b^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =a^2b^2+2a^2+2b^2+4\)
よって、
\((a^2+2)(b^2+2)=(ab+2)^2+2(a-b)^2\)
条件付き等式の証明
【条件付き等式の証明】
条件付きの等式の証明は、
(1)条件式を変形する。
(2)左辺と右辺のそれぞれの式に条件式を代入して文字を\(1\)つ消す。
(3)左辺=右辺であることを導く。
【例題】\(a+b=c\)のとき、次の等式を証明しなさい。
(右辺)\(=c^2-2ab\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =(a+b)^2-2ab\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =a^2+2ab+b^2-2ab\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =a^2+b^2\)
よって、
\(a^2+b^2=c^2-2ab\)
比例式の証明
【比例式の証明】
\(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)のように、比の値が等しいことを示した等式を比例式という。
比例式の証明は、
(1)\(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)とおく。
(2)\(a=bk,c=dk\)と変形させて、左辺と右辺にそれぞれ代入する。
(3)左辺=右辺であることを導く。
【例題】\(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)のとき、次の等式を証明しなさい。
(左辺)\(\displaystyle =\frac{a+c}{b+d}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{bk+dk}{b+d}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{k(b+d)}{b+d}\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =k\)
(右辺)\(\displaystyle =\frac{2a-c}{2b-d}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2bk-dk}{2b-d}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{k(2b-d)}{2b-d}\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =k\)
よって、
\(\displaystyle \frac{a+c}{b+d}=\frac{2a-c}{2b-d}\)