【高校数学Ⅱ】1-2-2 不等式の証明｜問題集

\((3x-4y)-(x-2y)\)
\(=3x-4y-x+2y\)
\(=2(x-y)\)
\(x>y\)より、
\(x-y>0\)なので、
\(2(x-y)>0\)
よって、
\(3x-4y>x-2y\)

\((xy+6)-(3x+2y)\)
\(=xy+6-3x-2y\)
\(=x(y-3)-2(y-3)\)
\(=(x-2)(y-3)\)
\(x>2,y>3\)より、
\(x-2>0,y-3>0\)なので、
\((x-2)(y-3)>0\)
よって、
\(xy+6>3x+2y\)

\((a^2+bc)-a(b+c)\)
\(=a^2+bc-ab-ac\)
\(=a(a-c)-b(a-c)\)
\(=(a-b)(a-c)\)
\(a>b,a>c\)より、
\(a-b>0,a-c>0\)なので、
\((a-b)(a-c)>0\)
よって、
\(a^2+bc>a(b+c)\)

\((ax+by)-(bx+ay)\)
\(=ax+by-bx-ay\)
\(=a(x-y)-b(x-y)\)
\(=(a-b)(x-y)\)
\(a< b,x< y\)より、
\(a-b<0,x-y<0\)なので、
\((a-b)(x-y)>0\)
よって、
\(ax+by>bx+ay\)

\((a+b)^2-4ab\)
\(=a^2-2ab+b^2\)
\(=(a-b)^2\)
\((a-b)^2\geqq0\)より、
\((a+b)^2\geqq4ab\)
また、等号が成り立つのは、
\(a=b\)のときである。

\((x^2+y^2)-2(x+y-1)\)
\(=x^2+y^2-2x-2y+2\)
\(=x^2-2x+1+y^2-2y+1\)
\(=(x-1)^2+(y-1)^2\)
\((x-1)^2+(y-1)^2\geqq0\)より、
\(x^2+y^2\geqq2(x+y-1)\)
また、等号が成り立つのは、
\(x=y=1\)のときである。

\((a^2+b^2)-ab\)
\(=a^2-ab+b^2\)
\(\displaystyle =\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2-\frac{1}{4}b^2+b^2\)
\(\displaystyle =\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3}{4}b^2\)
\(\displaystyle \left(a-\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3}{4}b^2\geqq0\)より、
\(a^2+b^2\geqq ab\)
また、等号が成り立つのは、
\(a=b=0\)のときである。

\(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}(2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ca)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\{(a^2+2ab+b^2)+(b^2+2bc+c^2)\)
\(\ \ \ \ \ \ +(c^2+2ca+a^2)\}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\}\)
\((a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\geqq0\)より、
\(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\geqq0\)
また、等号が成り立つのは、
\(a=b=c=0\)のときである。

\((a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2\)
\(=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2-a^2x^2-2abxy-b^2y^2\)
\(=a^2y^2-2abxy+b^2x^2\)
\(=(ay-bx)^2\)
\((ay-bx)^2\geqq0\)より、
\((a^2+b^2)(x^2+y^2)\geqq(ax+by)^2\)
また、等号が成り立つのは、
\(ay=bx\)のときである。

\((a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\{(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)\)
\(\ \ \ \ \ \ +(c^2-2ca+a^2)\}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}\)
\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqq0\)より、
\(a^2+b^2+c^2\geqq ab+bc+ca\)
また、等号が成り立つのは、
\(a=b=c=0\)のときである。

両辺を平方して比べる。
\((1+x)^2-(\sqrt{1+2x})^2\)
\(=1+2x+x^2-1-2x\)
\(=x^2\)
\(x^2\geqq0\)より、
\(1+x\geqq\sqrt{1+2x}\)

両辺を平方して比べる。
\((\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-(\sqrt{x+y})^2\)
\(=x+2\sqrt{xy}+y-x-y\)
\(=2\sqrt{xy}\)
\(2\sqrt{xy}\geqq0\)より、
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}>\sqrt{x+y}\)

両辺を平方して比べる。
\(\{\sqrt{2(x+y)}\}^2-(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\)
\(=2x+2y-x-2\sqrt{xy}-y\)
\(=x+y-2\sqrt{xy}\)
\(=(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\)
\((\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geqq0\)より、
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}\leqq\sqrt{2(x+y)}\)
また、等号が成り立つのは、
\(x=y\)のときである。

両辺を平方して比べる。
\((|a|+|b|)^2-(a+b)^2\)
\(=a^2+2|ab|+b^2-a^2-2ab-b^2\)
\(=2(|ab|-ab)\)
\(2(|ab|-ab)\geqq0\)より、
\(|a|+|b|\geqq|a+b|\)
また、等号が成り立つのは、
\(ab\geqq0\)のときである。

両辺を平方して比べる。
\((|x|+|y|)^2-(\sqrt{x^2+y^2})^2\)
\(=x^2+2|xy|+y^2-x^2-y^2\)
\(=2|xy|\)
\(2|xy|\geqq0\)より、
\(|x|+|y|\geqq\sqrt{x^2+y^2}\)
また、等号が成り立つのは、
\(xy=0\)のときである。

\(\displaystyle a>0,\frac{4}{a}>0\)なので、相加平均と相乗平均の関係より
\(\displaystyle a+\frac{4}{a}\geqq2\sqrt{a・\frac{4}{a}}\)
\(\displaystyle a+\frac{4}{a}\geqq4\)
また、等号が成り立つのは、
\(\displaystyle a=\frac{4}{a}\)
\(a=2\)のときである。

\(\displaystyle \frac{a}{b}>0,\frac{b}{a}>0\)なので、相加平均と相乗平均の関係より
\(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqq2\sqrt{\frac{a}{b}・\frac{b}{a}}\)
\(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqq2\)
また、等号が成り立つのは、
\(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{b}{a}\)
\(a=b\)のときである。

\(\displaystyle ab+\frac{9}{ab}+10\geqq16\)
\(\displaystyle ab+\frac{9}{ab}\geqq6\)
\(\displaystyle ab>0,\frac{9}{ab}>0\)なので、相加平均と相乗平均の関係より
\(\displaystyle ab+\frac{9}{ab}\geqq2\sqrt{ab・\frac{9}{ab}}\)
\(\displaystyle ab+\frac{9}{ab}\geqq6\)
よって、
\(\displaystyle \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{9}{a}\right)\geqq16\)
また、等号が成り立つのは、
\(\displaystyle ab=\frac{9}{ab}\)
\(ab=3\)のときである。

\(\displaystyle 4x>0,\frac{1}{x}>0\)なので、相加平均と相乗平均の関係より
\(\displaystyle 4x+\frac{1}{x}\geqq2\sqrt{4x・\frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle 4x+\frac{1}{x}\geqq4\)
また、等号が成り立つのは、
\(\displaystyle 4x=\frac{1}{x}\)
\(\displaystyle x=\frac{1}{2}\)のときである。

\(\displaystyle \frac{3b}{2a}>0,\frac{6a}{b}>0\)なので、相加平均と相乗平均の関係より
\(\displaystyle \frac{3b}{2a}+\frac{6a}{b}\geqq2\sqrt{\frac{3b}{2a}・\frac{6a}{b}}\)
\(\displaystyle \frac{3b}{2a}+\frac{6a}{b}\geqq6\)
また、等号が成り立つのは、
\(\displaystyle \frac{3b}{2a}=\frac{6a}{b}\)
\(b=2a\)のときである。