【高校数学Ⅱ】1-2-2 不等式の証明｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱの「不等式の証明」について要点を整理しています。条件付き不等式、平方の性質、平方根・絶対値を含む不等式、相加平均と相乗平均まで例題と解答で確認でき、定期テストや入試で頻出のポイントを効率的に学習できます。
条件付き不等式の証明
【条件付き不等式の証明】
不等式(左辺)\(>\)(右辺)の証明は、条件を利用して(左辺)\(-\)(右辺)\(>0\)であることを証明する。
【例題】\(x>1,y>2\)のとき、次の不等式を証明しなさい。
\(=xy+2-2x-y\)
\(=x(y-2)-(y-2)\)
\(=(x-1)(y-2)\)
\(x>1,y>2\)より、
\(x-1>0,y-2>0\)なので、
\((x-1)(y-2)>0\)
よって、
\(xy+2>2x+y\)
実数の平方の性質
【実数の平方の性質】
実数\(a,b\)は以下が成り立つ。
(1)\(a^2\geqq0\)
\(a=0\)のとき、等号が成り立つ。
(2)\(a^2+b^2\geqq0\)
\(a=b=0\)のとき、等号が成り立つ。
【例題】次の不等式を証明しなさい。
\(=x^2-2xy+y^2+y^2\)
\(=(x-y)^2+y^2\)
\((x-y)^2+y^2\geqq0\)より、
\(x^2+2y^2\geqq2xy\)
また、等号が成り立つのは、
\(x=y=0\)のときである。
平方の大小関係
【平方の大小関係】
\(a>0,b>0\)のとき、
(1)\(a>b\)ならば\(a^2>b^2\)
(2)\(a\geqq b\)ならば\(a^2\geqq b^2\)
【例題】\(x>0,y>0\)のとき、次の不等式を証明しなさい。
\((\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-(\sqrt{x+y})^2\)
\(=x+2\sqrt{xy}+y-(x+y)\)
\(=2\sqrt{xy}\)
\(2\sqrt{xy}\geqq0\)より、
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}>\sqrt{x+y}\)
絶対値を含む不等式
【実数の絶対値の性質】
実数\(a,b\)の絶対値について、以下が成り立つ。
(1)\(|a|\geqq0\)
(2)\(|a|\geqq a\)
(3)\(|a|\geqq -a\)
(4)\(|a|^2=a^2\)
(5)\(|ab|=|a||b|\)
(6)\(|ab|\geqq ab\)
【例題】次の不等式を証明しなさい。
\((|x|+|y|)^2-(|x+y|)^2\)
\(=|x|^2+2|x||y|+|y|^2-(x+y)^2\)
\(=x^2+2|xy|+y^2-(x^2+2xy+y^2)\)
\(=2(|xy|-xy)\)
\(2(|xy|-xy)\geqq0\)より、
\(|x|+|y|>|x+y|\)
また、等号が成り立つのは、
\(|xy|=xy\)
\(xy\geqq0\)のときである。
相加平均と相乗平均
【相加平均と相乗平均】
\(2\)つの数\(a,b\)について、
\(\displaystyle \frac{a+b}{2}\)を\(a\)と\(b\)の相加平均という。
また、\(a>0,b>0\)について、
\(\sqrt{ab}\)を\(a\)と\(b\)の相乗平均という。
\(a>0,b>0\)のとき、
\(\displaystyle \frac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}\)
また、等号が成り立つのは、\(a=b\)のときである。
【例題】\(x>0\)のとき、次の不等式を証明しなさい。
相加平均と相乗平均の関係より
\(\displaystyle x+\frac{1}{x}\geqq2\sqrt{x・\frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle x+\frac{1}{x}\geqq2\)
また、等号が成り立つのは、
\(\displaystyle x\geqq0,x=\frac{1}{x}\)
\(x=1\)のときである。