【高校数学Ⅱ】1-2-2 不等式の証明｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱの「不等式の証明」について要点を整理しています。条件付き不等式、平方の性質、平方根・絶対値を含む不等式、相加平均と相乗平均まで例題と解答で確認でき、定期テストや入試で頻出のポイントを効率的に学習できます。
条件付き不等式の証明
【条件付き不等式の証明】
不等式(左辺)\(>\)(右辺)の証明は、条件を利用して(左辺)\(-\)(右辺)\(>0\)であることを証明する。
【例題】\(x>1,y>2\)のとき、次の不等式を証明しなさい。
実数の平方の性質
【実数の平方の性質】
実数\(a,b\)は以下が成り立つ。
(1)\(a^2\geqq0\)
\(a=0\)のとき、等号が成り立つ。
(2)\(a^2+b^2\geqq0\)
\(a=b=0\)のとき、等号が成り立つ。
【例題】次の不等式を証明しなさい。
平方の大小関係
【平方の大小関係】
\(a>0,b>0\)のとき、
(1)\(a>b\)ならば\(a^2>b^2\)
(2)\(a\geqq b\)ならば\(a^2\geqq b^2\)
【例題】\(x>0,y>0\)のとき、次の不等式を証明しなさい。
絶対値を含む不等式
【実数の絶対値の性質】
実数\(a,b\)の絶対値について、以下が成り立つ。
(1)\(|a|\geqq0\)
(2)\(|a|\geqq a\)
(3)\(|a|\geqq -a\)
(4)\(|a|^2=a^2\)
(5)\(|ab|=|a||b|\)
(6)\(|ab|\geqq ab\)
【例題】次の不等式を証明しなさい。
相加平均と相乗平均
【相加平均と相乗平均】
\(2\)つの数\(a,b\)について、
\(\displaystyle \frac{a+b}{2}\)を\(a\)と\(b\)の相加平均という。
また、\(a>0,b>0\)について、
\(\sqrt{ab}\)を\(a\)と\(b\)の相乗平均という。
\(a>0,b>0\)のとき、
\(\displaystyle \frac{a+b}{2}\geqq2\sqrt{ab}\)
また、等号が成り立つのは、\(a=b\)のときである。
【例題】\(x>0\)のとき、次の不等式を証明しなさい。