1-2-2 不等式の証明(要点)

【条件付き不等式の証明】

不等式(左辺)\(>\)(右辺)の証明は、条件を利用して(左辺)\(-\)(右辺)\(>\)0であることを証明する。

【例題】\(x>1,y>2\)のとき、次の不等式を証明しなさい。
\(xy+2>2x+y\)

\((xy+2)-(2x+y)\)
\(=xy+2-2x-y\)
\(=x(y-2)-(y-2)\)
\(=(x-1)(y-2)\)
\(x>1,y>2\)より、
\(x-1>0,y-2>0\)なので、
\((x-1)(y-2)>0\)
よって、
\(xy+2>2x+y\)

【実数の平方の性質】

実数\(a,b\)は以下が成り立つ。
(1)\(a^2\geqq0\)
\(a=0\)のとき、等号が成り立つ。

(2)\(a^2+b^2\geqq0\)
\(a=b=0\)のとき、等号が成り立つ。

【例題】次の不等式を証明しなさい。
\(x^2+2y^2\geqq2xy\)

\((x^2+2y^2)-(2xy)\)
\(=x^2-2xy+y^2+y^2\)
\(=(x-y)^2+y^2\)
\((x-y)^2+y^2\geqq0\)より、
\(x^2+2y^2\geqq2xy\)
また、等号が成り立つのは、
\(x=y=0\)のときである。

【平方の大小関係】

\(a>0,b>0\)のとき、
(1)\(a>b\)ならば\(a^2>b^2\)
(2)\(a\geqq b\)ならば\(a^2\geqq b^2\)

【例題】\(x>0,y>0\)のとき、次の不等式を証明しなさい。
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}>\sqrt{x+y}\)

両辺を平方して比べる。
\((\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-(\sqrt{x+y})^2\)
\(=x+2\sqrt{xy}+y-(x+y)\)
\(=2\sqrt{xy}\)
\(2\sqrt{xy}\geqq0\)より、
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}>\sqrt{x+y}\)

【実数の絶対値の性質】

実数\(a,b\)の絶対値について、以下が成り立つ。
(1)\(|a|\geqq0\)
(2)\(|a|\geqq a\)
(3)\(|a|\geqq -a\)
(4)\(|a|^2=a^2\)
(5)\(|ab|=|a||b|\)
(6)\(|ab|\geqq ab\)

【例題】次の不等式を証明しなさい。
\(|x|+|y|>|x+y|\)

両辺を平方して比べる。
\(|x|+|y|)^2-(|x+y|)^2\)
\(=|x|^2+2|x||y|+|y|^2-(x+y)^2\)
\(=x^2+2|xy|+y^2-(x^2+2xy+y^2)\)
\(=2(|xy|-xy)\)
\(2(|xy|-xy)\geqq0\)より、
\(|x|+|y|>|x+y|\)
また、等号が成り立つのは、
\(|xy|=xy\)
\(xy\geqq0\)のときである。

【相加平均と相乗平均】

\(a>0,b>0\)のとき、
\(\displaystyle \frac{a+b}{2}\geqq2\sqrt{ab}\)
また、等号が成り立つのは、\(a=b\)のときである。

【例題】\(x>0\)のとき、次の不等式を証明しなさい。
\(\displaystyle x+\frac{1}{x}\geqq2\)

\(\displaystyle x>0,\frac{1}{x}>0\)なので、相加平均と相乗平均の関係より
\(\displaystyle x+\frac{1}{x}\geqq2\sqrt{x・\frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle x+\frac{1}{x}\geqq2\)
また、等号が成り立つのは、
\(\displaystyle x\geqq0,x=\frac{1}{x}\)
\(x=1\)のときである。