2-2-1 剰余の定理(要点)

【剰余の定理】

整式\(P(x)\)を\(x-a\)で割ったときの余りは、\(P(a)\)と等しい。

【商と余り】

\(A(x)\)を\(B(x)\)で割ったとき、商が\(Q(x)\)、余りが\(R(x)\)とする。

\(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\)
このとき、
\(R(x)\)の次数\(< B(x)\)の次数

【例題】\(P(x)=x^3+2x^2-2x+6\)を次の一次式で割ったとき、余りを求めなさい。

(1)\(x+1\)

\(P(-1)=(-1)^3+2・(-1)^2-2・(-1)+6\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =9\)

(2)\(x-2\)

\(P(2)=2^3+2・2^2-2・2+6\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =18\)

(3)\(x+3\)

\(P(-3)=(-3)^3+2・(-3)^2-2・(-3)+6\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =3\)

(4)\(x-4\)

\(P(4)=4^3+2・4^2-2・4+6\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =94\)

【因数定理】

整式\(P(x)\)を\(x-a\)で割り切れるとき、\(P(a)=0\)

【例題】次の式を因数分解しなさい。

(1)\(x^3-3x^2-x+3\)

\(P(x)=x^3-3x^2-x+3\)とすると、
\(P(1)=1^3-3・1^2-1+3=0\)
\(P(x)\)は\(x-1\)を因数にもつので、
\(x^3-3x^2-x+3\)
\(=(x-1)(x^2-2x-3)\)
\(=(x-1)(x+1)(x-3)\)

(2)\(2x^3+3x^2-11x-6\)

\(P(x)=2x^3+3x^2-11x-6\)とすると、
\(P(2)=2・2^3+3・2^2-11・2-6=0\)
\(P(x)\)は\(x-2\)を因数にもつので、
\(2x^3+3x^2-11x-6\)
\(=(x-2)(2x^2+7x+3)\)
\(=(x-2)(2x+1)(x+3)\)