【高校数学Ⅱ】2-2-2 高次方程式｜問題集

\(x^3+1=0\)
\((x+1)(x^2-x+1)=0\)
\(\displaystyle x=-1,\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}\)

\((x+1)(x^2-x-6)=0\)
\((x+1)(x+2)(x-3)=0\)
\(x=-2,-1,3\)

\((x-2)(x^2-2x+5)=0\)
\(x=2,1\pm2i\)

\((x-2)(x^2+2x+4)=0\)
\(x=2,-1\pm\sqrt{3}i\)

\((x-1)(x^2-3x-1)=0\)
\(\displaystyle x=1,\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}\)

\((x+2)(x^2-x+2)=0\)
\(\displaystyle x=-2,\frac{1\pm\sqrt{7}i}{2}\)

\((x^2+4)(x^2-3)=0\)
\((x^2+4)(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=0\)
\(x=\pm\sqrt{3},\pm2i\)

\((x^2+1)(x^2-1)=0\)
\((x^2+1)(x+1)(x-1)=0\)
\(x=\pm1,\pm i\)

\((x^2+1)(x^2-4)=0\)
\((x^2+1)(x+2)(x-2)=0\)
\(x=\pm2,\pm i\)

\(x=0\)ではないことから、\(x^2\)で割る。
\(\displaystyle x^2-2x-5+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0\)
\(\displaystyle \left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2-2\left(x-\frac{1}{x}\right)-5=0\)
\(\displaystyle \left(x-\frac{1}{x}\right)^2-2\left(x-\frac{1}{x}\right)-3=0\)
\(\displaystyle \left(x-\frac{1}{x}-3\right)\left(x-\frac{1}{x}+1\right)=0\)
\(\displaystyle x-\frac{1}{x}-3=0\)より、\(\displaystyle x=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}\)
\(\displaystyle x-\frac{1}{x}+1=0\)より、\(\displaystyle x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)
よって、
\(\displaystyle x=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2},\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)

\((1-i)^3+(1-i)^2+a(1-i)+b=0\)
\(1-3i+3i^2-i^3+1-2i+i^2+a-ai+b=0\)
\((a+b-2)+(-a-4)i=0\)
これを解くと、
\(a=-4,b=6\)
\(x^3+x^2-4x+6=0\)
\((x+3)(x^2-2x+2)=0\)
\(x=-3,1\pm i\)
よって、
\(a=-4,b=6\),他の解\(x=-3,1+i\)

\((3-i)^3+a(3-i)^2+b(3-i)+10=0\)
\((8a+3b+28)+(-6a-b-26)i=0\)
これを解くと、
\(a=-5,b=4\)
\(x^3-5x^2+4x+10=0\)
\((x+1)(x^2-6x+10)=0\)
\(x=-1,3\pm i\)
よって、
\(a=-5,b=4\),他の解\(x=-1,3+i\)

\(=(\omega^3)^2\)
\(\omega^3=1\)より、
\(=1^2\)
\(=1\)

\(=0\)

\(=\omega(\omega^2+\omega+1)\)
\(\omega^2+\omega+1=0\)より、
\(=0\)

\(=\omega^3(\omega^2+\omega+1)\)
\(\omega^2+\omega=-1\)より、
\(=1・(-1)\)
\(=-1\)