【高校数学Ⅱ】3-1-4 2直線の関係｜問題集
1.\(2\)直線\(\displaystyle y=-\frac{a}{2}x+2,y=(a+1)x-1\)が次の条件をみたすとき、\(a\)の値を求めなさい。
(1)\(2\)直線が平行になるとき
\(\displaystyle -\frac{a}{2}=a+1\)
\(\displaystyle a=-\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle a=-\frac{2}{3}\)
(2)\(2\)直線が垂直になるとき
\(\displaystyle -\frac{a}{2}(a+1)=-1\)
\(a^2+a-2=0\)
\((a+2)(a-1)=0\)
\(a=-2,1\)
\(a^2+a-2=0\)
\((a+2)(a-1)=0\)
\(a=-2,1\)
2.次の直線の式を求めなさい。
(1)\((3,-1)\)を通り、直線\(3x+2y+1=0\)に垂直な直線
\(\displaystyle y=-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}\)は傾きが\(\displaystyle -\frac{3}{2}\)なので、垂直な直線の傾きは\(\displaystyle \frac{2}{3}\)
\(\displaystyle y+1=\frac{2}{3}(x-3)\)
\(\displaystyle y=\frac{2}{3}x-3\)
\(\displaystyle y+1=\frac{2}{3}(x-3)\)
\(\displaystyle y=\frac{2}{3}x-3\)
(2)\((7,3)\)を通り、直線\(3x+y-3=0\)に垂直な直線
\(y=-3x+3\)は傾きが\(-3\)なので、垂直な直線の傾きは\(\displaystyle \frac{1}{3}\)
\(\displaystyle y-3=\frac{1}{3}(x-7)\)
\(\displaystyle y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle y-3=\frac{1}{3}(x-7)\)
\(\displaystyle y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\)
(3)\((-2,0)\)を通り、直線\(5x-y=0\)に垂直な直線
\(y=5x\)は傾きが\(5\)なので、垂直な直線の傾きは\(\displaystyle -\frac{1}{5}\)
\(\displaystyle y-0=-\frac{1}{5}(x+2)\)
\(\displaystyle y=-\frac{1}{5}x-\frac{2}{5}\)
\(\displaystyle y-0=-\frac{1}{5}(x+2)\)
\(\displaystyle y=-\frac{1}{5}x-\frac{2}{5}\)
3.次の直線に関して、次の点と対称な点を求めなさい。
(1)\(2x-y+2=0\)について点\(A(2,1)\)と対称な点\(B\)
点\(B\)を\((a,b)\)とおく。
\(y=2x+2\)は傾きが\(2\)なので、垂直な直線の傾きは\(\displaystyle -\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle -\frac{1}{2}=\frac{b-1}{a-2}\)
\(a+2b=4\)・・・(1)
\(AB\)の中点\(\displaystyle \left(\frac{a+2}{2},\frac{b+1}{2}\right)\)は、\(2x-y+2=0\)上にあるので、
\(\displaystyle 2\left(\frac{a+2}{2}\right)-\left(\frac{b+1}{2}\right)+2=0\)
\(2a-b=-7\)・・・(2)
(1)、(2)を解くと
\(a=-2,b=3\)
よって、\(B(-2,3)\)
\(y=2x+2\)は傾きが\(2\)なので、垂直な直線の傾きは\(\displaystyle -\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle -\frac{1}{2}=\frac{b-1}{a-2}\)
\(a+2b=4\)・・・(1)
\(AB\)の中点\(\displaystyle \left(\frac{a+2}{2},\frac{b+1}{2}\right)\)は、\(2x-y+2=0\)上にあるので、
\(\displaystyle 2\left(\frac{a+2}{2}\right)-\left(\frac{b+1}{2}\right)+2=0\)
\(2a-b=-7\)・・・(2)
(1)、(2)を解くと
\(a=-2,b=3\)
よって、\(B(-2,3)\)
(2)\(x-y+1=0\)について点\(A(3,0)\)と対称な点\(B\)
点\(B\)を\((a,b)\)とおく。
\(y=x+1\)は傾きが\(1\)なので、垂直な直線の傾きは\(-1\)
\(\displaystyle -1=\frac{b-0}{a-3}\)
\(a+b=3\)・・・(1)
\(AB\)の中点\(\displaystyle \left(\frac{a+3}{2},\frac{b}{2}\right)\)は、\(x-y+1=0\)上にあるので、
\(\displaystyle \left(\frac{a+3}{2}\right)-\left(\frac{b}{2}\right)+1=0\)
\(a-b=-5\)・・・(2)
(1)、(2)を解くと
\(a=-1,b=4\)
よって、\(B(-1,4)\)
\(y=x+1\)は傾きが\(1\)なので、垂直な直線の傾きは\(-1\)
\(\displaystyle -1=\frac{b-0}{a-3}\)
\(a+b=3\)・・・(1)
\(AB\)の中点\(\displaystyle \left(\frac{a+3}{2},\frac{b}{2}\right)\)は、\(x-y+1=0\)上にあるので、
\(\displaystyle \left(\frac{a+3}{2}\right)-\left(\frac{b}{2}\right)+1=0\)
\(a-b=-5\)・・・(2)
(1)、(2)を解くと
\(a=-1,b=4\)
よって、\(B(-1,4)\)
(3)\(x+2y+3=0\)について点\(A(4,5)\)と対称な点\(B\)
点\(B\)を\((a,b)\)とおく。
\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\)は傾きが\(\displaystyle -\frac{1}{2}\)なので、垂直な直線の傾きは\(2\)
\(\displaystyle 2=\frac{b-5}{a-4}\)
\(2a-b=3\)・・・(1)
\(AB\)の中点\(\displaystyle \left(\frac{a+4}{2},\frac{b+5}{2}\right)\)は、\(x+2y+3=0\)上にあるので、
\(\displaystyle \left(\frac{a+4}{2}\right)+2\left(\frac{b+5}{2}\right)+3=0\)
\(a+2b=-20\)・・・(2)
(1)、(2)を解くと
\(\displaystyle a=-\frac{14}{5},b=-\frac{43}{5}\)
よって、\(\displaystyle B\left(-\frac{14}{5},-\frac{43}{5}\right)\)
\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\)は傾きが\(\displaystyle -\frac{1}{2}\)なので、垂直な直線の傾きは\(2\)
\(\displaystyle 2=\frac{b-5}{a-4}\)
\(2a-b=3\)・・・(1)
\(AB\)の中点\(\displaystyle \left(\frac{a+4}{2},\frac{b+5}{2}\right)\)は、\(x+2y+3=0\)上にあるので、
\(\displaystyle \left(\frac{a+4}{2}\right)+2\left(\frac{b+5}{2}\right)+3=0\)
\(a+2b=-20\)・・・(2)
(1)、(2)を解くと
\(\displaystyle a=-\frac{14}{5},b=-\frac{43}{5}\)
よって、\(\displaystyle B\left(-\frac{14}{5},-\frac{43}{5}\right)\)
4.\(2\)点\(A(1,3),B(-2,2)\)を結ぶ線分の垂直二等分線の式を求めなさい。
\(AB\)の傾きが\(\displaystyle \frac{3-2}{1+2}=\frac{1}{3}\)なので、垂直な直線の傾きは\(-3\)
\(AB\)の中点\(\displaystyle \left(\frac{1-2}{2},\frac{3+2}{2}\right)\)を通るので、
\(\displaystyle y-\frac{5}{2}=-3\left(x+\frac{1}{2}\right)\)
\(y=-3x+1\)
\(AB\)の中点\(\displaystyle \left(\frac{1-2}{2},\frac{3+2}{2}\right)\)を通るので、
\(\displaystyle y-\frac{5}{2}=-3\left(x+\frac{1}{2}\right)\)
\(y=-3x+1\)
5.次の点と直線の距離を求めなさい。
(1)点\((2,-3)\)と直線\(2x+y-3=0\)
点\((2,-3)\)と直線\(2x+y-3=0\)の距離\(h\)は
\(\displaystyle h=\frac{|2・2+(-3)-3|}{\sqrt{2^2+1^2}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2}{\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
\(\displaystyle h=\frac{|2・2+(-3)-3|}{\sqrt{2^2+1^2}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2}{\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
(2)点\((-1,5)\)と直線\(y=3x-2\)
点\((-1,5)\)と直線\(3x-y-2=0\)の距離\(h\)は
\(\displaystyle h=\frac{|3・(-1)-5-2|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{10}{\sqrt{10}}\)
\(\ \ =\sqrt{10}\)
\(\displaystyle h=\frac{|3・(-1)-5-2|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{10}{\sqrt{10}}\)
\(\ \ =\sqrt{10}\)
(3)点\((0,0)\)と直線\(7x-6y+5=0\)
点\((0,0)\)と直線\(7x-6y+5=0\)の距離\(h\)は
\(\displaystyle h=\frac{|7・0-6・0+5|}{\sqrt{7^2+6^2}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{5}{\sqrt{85}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{\sqrt{85}}{17}\)
\(\displaystyle h=\frac{|7・0-6・0+5|}{\sqrt{7^2+6^2}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{5}{\sqrt{85}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{\sqrt{85}}{17}\)
(4)点\((1,1)\)と直線\(y=3x+3\)
点\((1,1)\)と直線\(3x-y+3=0\)の距離\(h\)は
\(\displaystyle h=\frac{|3・1-1+3|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{5}{\sqrt{10}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{\sqrt{10}}{2}\)
\(\displaystyle h=\frac{|3・1-1+3|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{5}{\sqrt{10}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{\sqrt{10}}{2}\)
6.\(3\)点\(A(0,1),B(4,-2),C(3,2)\)について、次の問いに答えなさい。
(1)直線\(AB\)の方程式を求めなさい。
\(\displaystyle y-1=\frac{-2-1}{4-0}(x-0)\)
\(\displaystyle y=-\frac{3}{4}x+1\)
\(\displaystyle y=-\frac{3}{4}x+1\)
(2)線分\(AB\)の長さを求めなさい。
\(AB=\sqrt{(4-0)^2+(-2-1)^2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{4^2+(-3)^2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{25}\)
\(\ \ \ \ \ \ =5\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{4^2+(-3)^2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\sqrt{25}\)
\(\ \ \ \ \ \ =5\)
(3)\(△ABC\)の面積を求めなさい。
直線\(3x+4y-4=0\)と点\(C(3,2)\)の距離\(h\)は
\(\displaystyle h=\frac{|3・3+4・2-4|}{\sqrt{3^2+4^2}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{13}{\sqrt{25}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{13}{5}\)
よって、
\(△ABC\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}・5・\frac{13}{5}\)
\(\displaystyle =\frac{13}{2}\)
\(\displaystyle h=\frac{|3・3+4・2-4|}{\sqrt{3^2+4^2}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{13}{\sqrt{25}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{13}{5}\)
よって、
\(△ABC\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}・5・\frac{13}{5}\)
\(\displaystyle =\frac{13}{2}\)
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