2直線の平行
【2直線の平行】
\(2\)直線\(y=mx+k,y=m'x+k'\)について、
\(m=m'\)のとき、\(2\)直線は平行である。
【例題】次の直線の式を求めなさい。
(1)\((-2,1)\)を通り、直線\(y=-3x+9\)に平行な直線
\(y=-3x+9\)は傾きが\(-3\)なので、平行な直線の傾きは\(-3\)
\(y-1=-3(x+2)\)
\(y=-3x-5\)
(2)\((2,3)\)を通り、直線\(x-5y+1=0\)に平行な直線
\(\displaystyle y=\frac{1}{5}x+\frac{1}{5}\)
傾きが\(\displaystyle \frac{1}{5}\)なので、平行な直線の傾きは\(\displaystyle \frac{1}{5}\)
\(\displaystyle y-3=\frac{1}{5}(x-2)\)
\(\displaystyle y=\frac{1}{5}x+\frac{13}{5}\)
2直線の垂直
【2直線の垂直】
\(2\)直線\(y=mx+k,y=m'x+k'\)について、
\(mm'=-1\)のとき、\(2\)直線は垂直である。
【例題】次の直線の式を求めなさい。
(1)\((-2,1)\)を通り、直線\(y=-3x+9\)に垂直な直線
\(y=-3x+9\)は傾きが\(-3\)なので、垂直な直線の傾きは\(\displaystyle \frac{1}{3}\)
\(\displaystyle y-1=\frac{1}{3}(x+2)\)
\(\displaystyle y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\)
(2)\((2,3)\)を通り、直線\(x-5y+1=0\)に垂直な直線
\(\displaystyle y=\frac{1}{5}x+\frac{1}{5}\)
傾きが\(\displaystyle \frac{1}{5}\)なので、垂直な直線の傾きは\(-5\)
\(y-3=-5(x-2)\)
\(y=-5x+13\)
点と直線の距離
【点と直線の距離】
点\((x_1,y_1)\)と直線\(ax+by+c=0\)の距離\(h\)は、
\(\displaystyle h=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
【例題】次の点と直線の距離を求めなさい。
(1)点\((-2,3)\)と直線\(y=-3x+2\)
点\((-2,3)\)と直線\(3x+y-2=0\)の距離\(h\)は
\(\displaystyle h=\frac{|3・(-2)+1・3-2|}{\sqrt{3^2+1^2}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{5}{\sqrt{10}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{\sqrt{10}}{2}\)
(2)点\((1,2)\)と直線\(4x-3y-5=0\)
点\((1,2)\)と直線\(4x-3y-5=0\)の距離\(h\)は
\(\displaystyle h=\frac{|4・1-3・2-5|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{7}{\sqrt{25}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{7}{5}\)
(3)原点と直線\(y=-2x+4\)
点\((0,0)\)と直線\(2x+y-4=0\)の距離\(h\)は
\(\displaystyle h=\frac{|2・0+0-4|}{\sqrt{2^2+1^2}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{4}{\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{4\sqrt{5}}{5}\)