【高校数学Ⅱ】3-2-1 円の方程式｜問題集
1.次の方程式の中心の座標と半径を求めなさい。
(1)\(x^2+y^2+4x-2y-4=0\)
\((x+2)^2-4+(y-1)^2-1-4=0\)
\((x+2)^2+(y-1)^2=9\)
\((x+2)^2+(y-1)^2=3^2\)
中心が\((-2,1)\)、半径が\(3\)
\((x+2)^2+(y-1)^2=9\)
\((x+2)^2+(y-1)^2=3^2\)
中心が\((-2,1)\)、半径が\(3\)
(2)\(x^2+y^2-2x-6y+1=0\)
\((x-1)^2-1+(y-3)^2-9+1=0\)
\((x-1)^2+(y-3)^2=9\)
\((x-1)^2+(y-3)^2=3^2\)
中心が\((1,3)\)、半径が\(3\)
\((x-1)^2+(y-3)^2=9\)
\((x-1)^2+(y-3)^2=3^2\)
中心が\((1,3)\)、半径が\(3\)
(3)\(x^2+y^2+5x+3y+4=0\)
\(\displaystyle \left(x+\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}+4=0\)
\(\displaystyle \left(x+\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{18}{4}\)
\(\displaystyle \left(x+\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2\)
中心が\(\displaystyle \left(-\frac{5}{2},-\frac{3}{2}\right)\)、半径が\(\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}\)
\(\displaystyle \left(x+\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{18}{4}\)
\(\displaystyle \left(x+\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2\)
中心が\(\displaystyle \left(-\frac{5}{2},-\frac{3}{2}\right)\)、半径が\(\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}\)
2.次の円の方程式を求めなさい。
(1)中心が\((2,-5)\)、半径が\(3\)の円
\((x-2)^2+(y+5)^2=9\)
(2)中心が\((2,-1)\)、点\((4,1)\)を通る円
円の中心が\((2,-1)\)なので、
\((x-2)^2+(y+1)^2=r^2\)
\((4,1)\)を通るので、
\((4-2)^2+(1+1)^2=r^2\)
\(r^2=8\)
よって、
\((x-2)^2+(y+1)^2=8\)
\((x-2)^2+(y+1)^2=r^2\)
\((4,1)\)を通るので、
\((4-2)^2+(1+1)^2=r^2\)
\(r^2=8\)
よって、
\((x-2)^2+(y+1)^2=8\)
(3)\(A(-2,5),B(4,3)\)を直径の両端とする円
円の中心は
\(\displaystyle \left(\frac{-2+4}{2},\frac{5+3}{2}\right)\)\(=(1,4)\)
円の半径は
\(\sqrt{(1+2)^2+(4-5)^2}\)
\(=\sqrt{3^2+(-1)^2}\)
\(=\sqrt{10}\)
よって、
\((x-1)^2+(y-4)^2=10\)
\(\displaystyle \left(\frac{-2+4}{2},\frac{5+3}{2}\right)\)\(=(1,4)\)
円の半径は
\(\sqrt{(1+2)^2+(4-5)^2}\)
\(=\sqrt{3^2+(-1)^2}\)
\(=\sqrt{10}\)
よって、
\((x-1)^2+(y-4)^2=10\)
(4)\(A(-2,-3),B(6,5)\)を直径の両端とする円
円の中心は
\(\displaystyle \left(\frac{-2+6}{2},\frac{-3+5}{2}\right)\)\(=(2,1)\)
円の半径は
\(\sqrt{(2+2)^2+(1+3)^2}\)
\(=\sqrt{4^2+4^2}\)
\(=\sqrt{32}\)
よって、
\((x-2)^2+(y-1)^2=32\)
\(\displaystyle \left(\frac{-2+6}{2},\frac{-3+5}{2}\right)\)\(=(2,1)\)
円の半径は
\(\sqrt{(2+2)^2+(1+3)^2}\)
\(=\sqrt{4^2+4^2}\)
\(=\sqrt{32}\)
よって、
\((x-2)^2+(y-1)^2=32\)
(5)\(A(3,6),B(-3,-2)\)を直径の両端とする円
円の中心は
\(\displaystyle \left(\frac{3-3}{2},\frac{6-2}{2}\right)\)\(=(0,2)\)
円の半径は
\(\sqrt{(3-0)^2+(6-2)^2}\)
\(=\sqrt{3^2+4^2}\)
\(=\sqrt{25}\)
よって、
\(x^2+(y-2)^2=25\)
\(\displaystyle \left(\frac{3-3}{2},\frac{6-2}{2}\right)\)\(=(0,2)\)
円の半径は
\(\sqrt{(3-0)^2+(6-2)^2}\)
\(=\sqrt{3^2+4^2}\)
\(=\sqrt{25}\)
よって、
\(x^2+(y-2)^2=25\)
(6)中心が\((3,4)\)、\(x\)軸に接する円
中心が\((3,4)\)、\(x\)軸に接することから、半径は\(4\)
よって、
\((x-3)^2+(y-4)^2=16\)
よって、
\((x-3)^2+(y-4)^2=16\)
(7)\((2,4)\)を通り、\(x\)軸、\(y\)軸に接する円
\(x\)軸、\(y\)軸に接することから、半径を\(r\)とすると
\((x-r)^2+(y-r)^2=r^2\)
\((2,4)\)を通るので、
\((2-r)^2+(4-r)^2=r^2\)
\(r^2-12r+20=0\)
\((r-2)(r-10)=0\)
\(r=2,10\)
よって、
\((x-2)^2+(y-2)^2=4\)
\((x-10)^2+(y-10)^2=100\)
\((x-r)^2+(y-r)^2=r^2\)
\((2,4)\)を通るので、
\((2-r)^2+(4-r)^2=r^2\)
\(r^2-12r+20=0\)
\((r-2)(r-10)=0\)
\(r=2,10\)
よって、
\((x-2)^2+(y-2)^2=4\)
\((x-10)^2+(y-10)^2=100\)
(8)\((1,2)\)を通り、\(x\)軸、\(y\)軸に接する円
\(x\)軸、\(y\)軸に接することから、半径を\(r\)とすると
\((x-r)^2+(y-r)^2=r^2\)
\((1,2)\)を通るので、
\((1-r)^2+(2-r)^2=r^2\)
\(r^2-6r+5=0\)
\((r-1)(r-5)=0\)
\(r=1,5\)
よって、
\((x-1)^2+(y-1)^2=1\)
\((x-5)^2+(y-5)^2=25\)
\((x-r)^2+(y-r)^2=r^2\)
\((1,2)\)を通るので、
\((1-r)^2+(2-r)^2=r^2\)
\(r^2-6r+5=0\)
\((r-1)(r-5)=0\)
\(r=1,5\)
よって、
\((x-1)^2+(y-1)^2=1\)
\((x-5)^2+(y-5)^2=25\)
(9)\(A(3,4),B(-1,0)\)を通り、中心が\(y=2x\)上にある円
円の中心を\(a,2a\)、半径を\(r\)とする。
\((x-a)^2+(y-2a)^2=r^2\)
\(A(3,4)\)を通るので、
\((3-a)^2+(4-2a)^2=r^2\)・・・(1)
\(B(-1,0)\)を通るので、
\((-1-a)^2+(0-2a)^2=r^2\)・・・(2)
(1)、(2)を解くと、
\(a=1,r=2\sqrt{2}\)
よって、
\((x-1)^2+(y-2)^2=8\)
\((x-a)^2+(y-2a)^2=r^2\)
\(A(3,4)\)を通るので、
\((3-a)^2+(4-2a)^2=r^2\)・・・(1)
\(B(-1,0)\)を通るので、
\((-1-a)^2+(0-2a)^2=r^2\)・・・(2)
(1)、(2)を解くと、
\(a=1,r=2\sqrt{2}\)
よって、
\((x-1)^2+(y-2)^2=8\)
(10)\(A(2,3),B(-2,-1),C(2,-3)\)を通る円
\(A(2,3)\)を通るので、
\(2^2+3^2+2l+3m+n=0\)
\(2l+3m+n=-13\)・・・(1)
\(B(-2,-1)\)を通るので、
\((-2)^2+(-1)^2-2l-m+n=0\)
\(-2l-m+n=-5\)・・・(2)
\(C(2,-3)\)を通るので、
\(2^2+(-3)^2+2l-3m+n=0\)
\(2l-3m+n=-13\)・・・(3)
(1),(2),(3)を解くと、
\(l=-2,m=0,n=-9\)
よって、
\(x^2+y^2-2x-9=0\)
\(2^2+3^2+2l+3m+n=0\)
\(2l+3m+n=-13\)・・・(1)
\(B(-2,-1)\)を通るので、
\((-2)^2+(-1)^2-2l-m+n=0\)
\(-2l-m+n=-5\)・・・(2)
\(C(2,-3)\)を通るので、
\(2^2+(-3)^2+2l-3m+n=0\)
\(2l-3m+n=-13\)・・・(3)
(1),(2),(3)を解くと、
\(l=-2,m=0,n=-9\)
よって、
\(x^2+y^2-2x-9=0\)
(11)\(A(1,2),B(-2,1),C(4,-3)\)を通る円
\(A(1,2)\)を通るので、
\(1^2+2^2+l+2m+n=0\)
\(l+2m+n=-5\)・・・(1)
\(B(-2,1)\)を通るので、
\((-2)^2+1^2-2l+m+n=0\)
\(-2l+m+n=-5\)・・・(2)
\(C(4,-3)\)を通るので、
\(4^2+(-3)^2+4l-3m+n=0\)
\(4l-3m+n=-25\)・・・(3)
(1),(2),(3)を解くと、
\(\displaystyle l=-\frac{10}{9},m=\frac{10}{3},n=-\frac{95}{9}\)
よって、
\(\displaystyle x^2+y^2-\frac{10}{9}x+\frac{10}{3}y-\frac{95}{9}=0\)
\(9x^2+9y^2-10x+30y-95=0\)
\(1^2+2^2+l+2m+n=0\)
\(l+2m+n=-5\)・・・(1)
\(B(-2,1)\)を通るので、
\((-2)^2+1^2-2l+m+n=0\)
\(-2l+m+n=-5\)・・・(2)
\(C(4,-3)\)を通るので、
\(4^2+(-3)^2+4l-3m+n=0\)
\(4l-3m+n=-25\)・・・(3)
(1),(2),(3)を解くと、
\(\displaystyle l=-\frac{10}{9},m=\frac{10}{3},n=-\frac{95}{9}\)
よって、
\(\displaystyle x^2+y^2-\frac{10}{9}x+\frac{10}{3}y-\frac{95}{9}=0\)
\(9x^2+9y^2-10x+30y-95=0\)
(12)\(A(1,-3),B(-4,2),C(5,-1)\)を通る円
\(A(1,-3)\)を通るので、
\(1^2+(-3)^2+l-3m+n=0\)
\(l-3m+n=-10\)・・・(1)
\(B(-4,2)\)を通るので、
\((-4)^2+2^2-4l+2m+n=0\)
\(-4l+2m+n=-20\)・・・(2)
\(C(5,-1)\)を通るので、
\(5^2+(-1)^2+5l-m+n=0\)
\(5l-m+n=-26\)・・・(3)
(1),(2),(3)を解くと、
\(l=-2,m=-4,n=-20\)
よって、
\(x^2+y^2-2x-4y-20=0\)
\(1^2+(-3)^2+l-3m+n=0\)
\(l-3m+n=-10\)・・・(1)
\(B(-4,2)\)を通るので、
\((-4)^2+2^2-4l+2m+n=0\)
\(-4l+2m+n=-20\)・・・(2)
\(C(5,-1)\)を通るので、
\(5^2+(-1)^2+5l-m+n=0\)
\(5l-m+n=-26\)・・・(3)
(1),(2),(3)を解くと、
\(l=-2,m=-4,n=-20\)
よって、
\(x^2+y^2-2x-4y-20=0\)
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