【高校数学Ⅱ】3-3-1 軌跡｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱ「軌跡」について要点を整理しています。与えられた条件を満たす点が作る図形の考え方や公式を解説し、定期テストや大学入試で出題されやすい問題を効率的に理解できます。
軌跡の定義と基本
【軌跡】
与えられた条件を満たす点が動いてできる図形を軌跡という。
点\(A,B\)からの距離の比が\(m:n\)である点の軌跡は、線分\(AB\)を\(m:n\)に内分する点と外分する点を直径の両端とする円である。この円をアポロニウスの円という。また、\(m=n\)のときの軌跡は線分\(AB\)の垂直二等分線である。
【例題】次の軌跡を求めなさい。
(1)点\(A(1,4),B(-1,0)\)に対して、\(AP^2+BP^2=18\)を満たす点\(P\)の軌跡を求めなさい。
点\(P\)の座標を\((a,b)\)とする。
\(AP^2=(a-1)^2+(b-4)^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =a^2+b^2-2a-8b+17\)
\(BP^2=(a+1)^2+(b-0)^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =a^2+b^2+2a+1\)
\(AP^2+BP^2=18\)より、
\((a^2+b^2-2a-8b+17)\)
\(\ \ \ +(a^2+b^2+2a+1)=18\)
\(a^2+b^2-4b=0\)
\(a^2+(b-2)^2=4\)
よって、
点\(P\)の軌跡は中心\((0,2)\)、半径\(2\)の円
(2)点\(A(-4,0),B(2,0)\)の距離の比が\(2:1\)である点\(P\)の軌跡を求めなさい。
点\(P\)の座標を\((a,b)\)とする。
\(AP:BP=2:1\)より、
\(AP=2BP\)
\(AP^2=(a+4)^2+(b-0)^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =a^2+b^2+8a+16\)
\(BP^2=(a-2)^2+(b-0)^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =a^2+b^2-4a+4\)
\(a^2+b^2+8a+16=4(a^2+b^2-4a+4)\)
\(a^2+b^2-8a=0\)
\((a-4)^2+b^2=16\)
よって、
点\(P\)の軌跡は中心\((4,0)\)、半径\(4\)の円
(3)点\(Q\)が円\(x^2+y^2=4\)上を動くとき、点\(A(3,0)\)と点\(Q\)の中点\(P\)の軌跡を求めなさい。
点\(Q\)を\((s,t)\)とする。
\(s^2+t^2=4\)
点\(P\)を\((a,b)\)とする。
\(\displaystyle a=\frac{s+3}{2},b=\frac{t}{2}\)
\(s=2a-3,t=2b\)
これを\(s^2+t^2=4\)に代入すると、
\((2a-3)^2+(2b)^2=4\)
\(4a^2+4b^2-12a+5=0\)
\(\displaystyle \left(x-\frac{3}{2}\right)^2+y^2=1\)
よって、
点\(P\)の軌跡は中心\(\displaystyle \left(\frac{3}{2},0\right)\)、半径\(1\)の円
次の学習に進もう！
