平均変化率
【平均変化率】
関数\(y=f(x)\)において、\(x\)の値が\(a\)から\(b\)までの変化の割合は\(\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
これを平均変化率という。
【例題】関数\(f(x)=2x^2-3\)について、次の問いに答えなさい。
(1)\(x=2\)から\(x=4\)までの平均変化率
\(\displaystyle \frac{f(4)-f(2)}{4-2}\)
\(\displaystyle =\frac{29-5}{2}\)
\(=12\)
(2)\(x=2\)から\(x=2+h\)までの平均変化率
\(\displaystyle \frac{f(2+h)-f(2)}{(2+h)-2}\)
\(\displaystyle =\frac{2・(2+h)^2-3-5}{h}\)
\(\displaystyle =\frac{8+8h+2h^2-3-5}{h}\)
\(\displaystyle =\frac{2h^2+8h}{h}\)
\(=2h+8\)
極限値
【極限値】
関数\(y=f(x)\)において\(x\)が限りなく\(a\)に近づくとき\(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)\)
と表し、これを極限値という。
極限値は\(y=f(x)\)に\(x=a\)を代入すれば求められる。
【例題】次の極限値を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \lim_{h \to 0}(5+h)\)
\(=5\)
(2)\(\displaystyle \lim_{h \to 0}(2-h)\)
\(=2\)
(3)\(\displaystyle \lim_{h \to 0}(8-4h+h^2)\)
\(=8\)
微分係数
【微分係数】
関数\(f(x)\)において、\(x\)の値が\(a\)から\(a+h\)までの平均変化率は\(\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}\)
これの\(h\)を\(0\)に近づけたときの値を微分係数といい、\(f'(a)\)と表す。
\(\displaystyle f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
【例題】次の微分係数を求めなさい。
(1)\(f(x)=-2x^2+5x\ \ (x=2)\)
\(\displaystyle f'(2)=\lim_{h \to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{h \to 0}\frac{-2h^2-3h}{h}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{h \to 0}(-2h-3)\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =-3\)
(2)\(f(x)=-2x^2+5x\ \ (x=a)\)
\(\displaystyle f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{h \to 0}\frac{-2h^2-4ah+5h}{h}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{h \to 0}(-2h-4a+5)\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =-4a+5\)