【高校数学Ⅱ】6-1-1 微分係数｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅱの「微分係数」について要点を整理しています。平均変化率、極限値、微分係数の求め方を解説し、定期テストや大学入試で頻出の基礎問題を効率的に理解できます。
平均変化率の計算と理解
【平均変化率】
関数\(y=f(x)\)において、\(x\)の値が\(a\)から\(b\)までの変化の割合は
\(\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
これを平均変化率という。
【例題】関数\(f(x)=2x^2-3\)について、次の問いに答えなさい。
\(\displaystyle =\frac{29-5}{2}\)
\(=12\)
\(\displaystyle =\frac{2・(2+h)^2-3-5}{h}\)
\(\displaystyle =\frac{8+8h+2h^2-3-5}{h}\)
\(\displaystyle =\frac{2h^2+8h}{h}\)
\(=2h+8\)
極限値の求め方と考え方
【極限値】
関数\(y=f(x)\)において\(x\)が限りなく\(a\)に近づくとき
\(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)\)
と表し、これを極限値という。
極限値は\(y=f(x)\)に\(x=a\)を代入すれば求められる。
【例題】次の極限値を求めなさい。
微分係数の定義と計算
【微分係数】
関数\(f(x)\)において、\(x\)の値が\(a\)から\(a+h\)までの平均変化率は
\(\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}\)
これの\(h\)を\(0\)に近づけたときの値を微分係数といい、\(f'(a)\)と表す。
\(\displaystyle f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
【例題】次の微分係数を求めなさい。
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{h \to 0}\frac{-2h^2-3h}{h}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{h \to 0}(-2h-3)\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =-3\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{h \to 0}\frac{-2h^2-4ah+5h}{h}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{h \to 0}(-2h-4a+5)\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =-4a+5\)